Raute

Definition, Eigenschaften und Formeln zur Berechnung von Rauten (Rhombus)

Eine Raute (auch Rhombus genannt) ist ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß. Eine Raute kann als Parallelogramm definiert werden, dessen Diagonalen einander rechtwinklig schneiden.

Das Quadrat ist ein Spezialfall der Raute, bei dem zusätzlich alle vier Winkel rechte Winkel sind.

Grundeigenschaften

Vier Seiten

Alle vier Seiten sind gleich lang

Parallele Seiten

Gegenüberliegende Seiten sind parallel

Diagonalen

Stehen senkrecht aufeinander und halbieren sich

Winkel

Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß

Weitere Eigenschaften:
  • Benachbarte Innenwinkel sind supplementär (Summe = 180°)
  • Die Diagonalen halbieren die Innenwinkel
  • Sie besitzt einen Inkreis (Tangentenviereck)
  • Der Schnittpunkt der Diagonalen ist der Inkreismittelpunkt

Formeln der Raute

Für eine Raute mit Seitenlänge \(a\), Diagonalen \(e\) und \(f\), Höhe \(h_a\) und Winkeln \(\alpha\) und \(\beta\):

Flächeninhalt

Mit Seitenlänge und Höhe:

\[\displaystyle A = a \cdot h_a\]

Mit Diagonalen:

\[\displaystyle A = \frac{e \cdot f}{2}\]

Mit Seitenlänge und Winkel:

\[\displaystyle A = a^2 \sin \alpha = a^2 \sin \beta\]

Umfang

\[\displaystyle U = 4a\]

Mit Höhe:

\[\displaystyle U = 4 \cdot \frac{h_a}{\sin \alpha} = 4 \cdot \frac{h_a}{\sin \beta}\]

Seitenlänge

Aus Fläche und Höhe:

\[\displaystyle a = \frac{A}{h_a}\]

Aus Diagonalen:

\[\displaystyle a = \frac{1}{2}\sqrt{e^2 + f^2}\]

Diagonalen

Erste Diagonale \(e\):

\[\displaystyle e = 2a \cos \left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2a \sin \left(\frac{\beta}{2}\right)\]

Zweite Diagonale \(f\):

\[\displaystyle f = 2a \sin \left(\frac{\alpha}{2}\right) = 2a \cos \left(\frac{\beta}{2}\right)\]

Höhe

\[\displaystyle h_a = a \sin \alpha = a \sin \beta\]

Mit Diagonalen:

\[\displaystyle h_a = \frac{e \cdot f}{\sqrt{e^2 + f^2}}\]

Inkreisradius

\[\displaystyle r_i = \frac{h_a}{2} = \frac{a \sin \alpha}{2} = \frac{a \sin \beta}{2}\]

Innenwinkel

Die beiden Innenwinkel erfüllen:

\[\displaystyle \alpha + \beta = 180°\]

Praktische Beispiele

Beispiel 1: Fläche mit Diagonalen

Gegeben: \(e = 8\,\text{cm}\), \(f = 6\,\text{cm}\)

\[\displaystyle A = \frac{e \cdot f}{2} = \frac{8 \cdot 6}{2} = 24\,\text{cm}^2\]

Beispiel 2: Seitenlänge aus Diagonalen

Gegeben: \(e = 10\,\text{cm}\), \(f = 8\,\text{cm}\)

\[\displaystyle a = \frac{1}{2}\sqrt{e^2 + f^2} = \frac{1}{2}\sqrt{10^2 + 8^2} = \frac{1}{2}\sqrt{164} \approx 6.4\,\text{cm}\]

Visualisierung

Raute Diagramm

Raute mit Diagonalen, Höhe und Winkeln

Zusammenfassung

Definition

Viereck mit vier gleich langen Seiten und parallelen Gegenseiten

Fläche

\[\displaystyle A = \frac{e \cdot f}{2}\]

Umfang

\[\displaystyle U = 4a\]

Diagonalen

Stehen senkrecht aufeinander



Winkelhalbierende
Seitenhalbierende
Höhe eines Dreiecks
Mittelsenkrechte eines Dreiecks
Satz des Pythagoras
Pythagoreisches-Tripel (3, 4, 5)
Kreis
Quadrat
Rechteck
Raute
Parallelogramm
Trapez










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