Gaußsche Addition und Subtraktion

Komplexe Zahlen werden addiert, indem man die Realteile und die Imaginärteile separat addiert. Für die Addition der beiden komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl ist eindeutig durch ein Zahlenpaar \((a, b)\) festgelegt, bzw. geometrisch durch einen Punkt in der Gaußschen Zahlenebene. Jedem Zahlenpaar lässt sich ein eindeutiger Vektor zuordnen.

Dieser Vektor kann in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt werden durch eine Line oder einen Pfeil mit dem Anfangspunkt \(0\) und dem Endpunkt \(z\).

Der Addition zweier komplexer Zahlen \(z1\) und \(z2\) entspricht in der Gaußschen Zahlenebene die Addition der zugehörigen Vektoren

Vektoren werden addiert, indem man die Komponenten separat addiert. Die erste Komponente entspricht dem Realteil und die zweite dem Imaginärteil.

Die folgende Abbildung zeigt die komplexen Zahlen \(z1 = 3 + i\)   und   \(z2 = 1 + 2i\) und das visualisierte Ergebnis der komplexen Addition.

Subtraktion in der Gaußschen Zahlenebene

Bei der geometrischen Subtraktion zweier komplexer Zahlen \(z_1\) und \(z_2\) wird ähnlich verfahren. Es gilt, komplexe Zahlen werden subtrahiert, indem man die Realteile und Imaginärteile separat subtrahiert - ebenso wird bei der Subtraktion von Vektoren verfahren.

Die Subtraktion der Vektoren \(z_1\) und \(z_2\) wird in der Praxis so durchgeführt, dass man zum Vektor zu \(z_1\) den zu \(z_2\) entgegengesetzten Vektor, d.h. den Vektor zu \(-z_2\) addiert. Denn es gilt \(z_1- z_2 = z_1+ (-z_2)\).

Die folgende Abbildung zeigt die geometrische Subtraktion:

Die Differenz \(z_1 - z_2\) kann durch den Vektor von \(0\) zu \(z_1 - z_2\) oder auch durch den Vektor von \(z_2\) zu \(z_1\) dargestellt werden. Beide Vektorenhaben die gleiche Länge, Richtung und Orientierung. Das heißt, beide Vektoren sind gleich.

Ebenso identisch sind die Vektoren von \(0\) zu \(z_2\) und von \(z_1 - z_2\) zu \(z_1\).

Je nachdem kann die eine oder andere Darstellung von Vorteil sein.