Addition und Subtraktion komplexer Zahlen

Grundrechenarten mit komplexen Zahlen einfach erklärt

Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen folgen dem gleichen Prinzip wie die Grundrechenarten mit reellen Zahlen. Dies ist das Permanenzprinzip - die Rechenregeln der reellen Zahlen bleiben auch für komplexe Zahlen gültig.

Der Schlüssel ist, dass man Real- und Imaginärteile separat behandelt, als würde man mit zwei verschiedenen Variablen rechnen.

Grundprinzip

Das Permanenzprinzip besagt, dass die Rechenregeln der reellen Zahlen auch auf komplexe Zahlen angewendet werden können.

Das Permanenzprinzip:

Bei der Addition und Subtraktion komplexer Zahlen werden die Realteile und die Imaginärteile separat addiert oder subtrahiert.

Addition

(a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i

Real- und Imaginärteile separat addieren

Subtraktion

(a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d)i

Real- und Imaginärteile separat subtrahieren

Addition komplexer Zahlen

Bei der Addition werden die Realteile und die Imaginärteile jeweils zusammengefasst.

Formel für die Addition

Addition zweier komplexer Zahlen:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Beispiel 1: Einfache Addition

Addieren Sie die komplexen Zahlen z₁ = 3 + i und z₂ = 1 - 2i

Gegeben: z₁ = 3 + i, z₂ = 1 - 2i
Aufschreiben: (3 + i) + (1 - 2i)
Real- und Imaginärteile trennen: (3 + 1) + (i - 2i)
Realteil addieren: 3 + 1 = 4
Imaginärteil addieren: 1 - 2 = -1
Resultat: z₁ + z₂ = 4 - i
Addition von 3 + i und 1 - 2i

Visualisierung: (3 + i) + (1 - 2i) = 4 - i

Beispiel 2: Mit negativen Realteilen

Addieren Sie z₁ = -2 + 3i und z₂ = 1 + 2i

Gegeben: z₁ = -2 + 3i, z₂ = 1 + 2i
Aufschreiben: (-2 + 3i) + (1 + 2i)
Real- und Imaginärteile trennen: (-2 + 1) + (3i + 2i)
Realteil addieren: -2 + 1 = -1
Imaginärteil addieren: 3 + 2 = 5
Resultat: z₁ + z₂ = -1 + 5i

Beispiel 3: Mit Dezimalzahlen

Addieren Sie z₁ = 2,5 + 1,5i und z₂ = 1,5 - 0,5i

Gegeben: z₁ = 2,5 + 1,5i, z₂ = 1,5 - 0,5i
Aufschreiben: (2,5 + 1,5i) + (1,5 - 0,5i)
Realteil addieren: 2,5 + 1,5 = 4
Imaginärteil addieren: 1,5 - 0,5 = 1
Resultat: z₁ + z₂ = 4 + i

Subtraktion komplexer Zahlen

Bei der Subtraktion werden ebenfalls Real- und Imaginärteile separat subtrahiert. Wichtig ist, dass sich die Vorzeichen der zweiten Zahl umkehren!

Formel für die Subtraktion

Subtraktion zweier komplexer Zahlen:

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

Wichtig - Vorzeichen beachten!

Bei der Subtraktion müssen die Vorzeichen der zweiten Zahl umgekehrt werden:

(a + bi) - (c + di) = (a + bi) + (-c - di)

Beispiel 1: Einfache Subtraktion

Subtrahieren Sie z₂ = 1 - 2i von z₁ = 3 + i

Gegeben: z₁ = 3 + i, z₂ = 1 - 2i
Aufschreiben: (3 + i) - (1 - 2i)
Vorzeichen umkehren: (3 + i) + (-1 + 2i)
Real- und Imaginärteile trennen: (3 - 1) + (i + 2i)
Realteil subtrahieren: 3 - 1 = 2
Imaginärteil addieren (!): 1 + 2 = 3
Resultat: z₁ - z₂ = 2 + 3i
Subtraktion von 3 + i und 1 - 2i

Visualisierung: (3 + i) - (1 - 2i) = 2 + 3i

Beispiel 2: Mit negativen Komponenten

Subtrahieren Sie z₂ = -1 + 2i von z₁ = 2 - 3i

Gegeben: z₁ = 2 - 3i, z₂ = -1 + 2i
Aufschreiben: (2 - 3i) - (-1 + 2i)
Vorzeichen umkehren: (2 - 3i) + (1 - 2i)
Realteil subtrahieren: 2 + 1 = 3
Imaginärteil subtrahieren: -3 - 2 = -5
Resultat: z₁ - z₂ = 3 - 5i

Beispiel 3: Mit Dezimalzahlen

Subtrahieren Sie z₂ = 1,5 + 0,5i von z₁ = 4 + 2i

Gegeben: z₁ = 4 + 2i, z₂ = 1,5 + 0,5i
Aufschreiben: (4 + 2i) - (1,5 + 0,5i)
Realteil subtrahieren: 4 - 1,5 = 2,5
Imaginärteil subtrahieren: 2 - 0,5 = 1,5
Resultat: z₁ - z₂ = 2,5 + 1,5i

Geometrische Interpretation

Addition und Subtraktion komplexer Zahlen können auch geometrisch in der Gauß'schen Zahlenebene interpretiert werden - ähnlich wie die Vektoraddition.

Addition als Vektoraddition

Bei der Addition von z₁ + z₂ wird der Vektor von z₂ an die Spitze des Vektors von z₁ angehängt.

  • Realteil des Ergebnisses = Summe der Realteile
  • Imaginärteil des Ergebnisses = Summe der Imaginärteile
  • Der Vektor zeigt vom Ursprung zur neuen Spitze

Subtraktion als Vektorsubtraktion

Die Subtraktion z₁ - z₂ entspricht der Differenz der Vektoren.

  • Geometrisch: Vektor von z₂ zu z₁
  • Realteil des Ergebnisses = Differenz der Realteile
  • Imaginärteil des Ergebnisses = Differenz der Imaginärteile

Weitere Beispiele und Übersicht

Operation z₁ z₂ Realteil Imaginärteil Ergebnis
Addition 2 + 3i 1 + 2i 2 + 1 = 3 3 + 2 = 5 3 + 5i
Subtraktion 2 + 3i 1 + 2i 2 - 1 = 1 3 - 2 = 1 1 + i
Addition 5 - 2i -3 + 4i 5 - 3 = 2 -2 + 4 = 2 2 + 2i
Subtraktion 5 - 2i -3 + 4i 5 - (-3) = 8 -2 - 4 = -6 8 - 6i
Addition -1 - i 1 + i -1 + 1 = 0 -1 + 1 = 0 0

Eigenschaften von Addition und Subtraktion

Kommutativität

z₁ + z₂ = z₂ + z₁

Die Reihenfolge bei Addition ist egal

Assoziativität

(z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃)

Klammersetzung ist egal

Neutrales Element

z + 0 = z

Die Null (0 + 0i) ist neutral

Inverses Element

z + (-z) = 0

Jede Zahl hat ein additives Inverses

Tipps und häufige Fehler

Tipps zum Lösen:
  • Schreiben Sie beide Zahlen auf: (a + bi) ± (c + di)
  • Trennen Sie Real- und Imaginärteile: (a ± c) + (b ± d)i
  • Beachten Sie Vorzeichen bei Subtraktion: Das Minuszeichen betrifft beide Komponenten
  • Überprüfen Sie Ihr Ergebnis: Ist Real- und Imaginärteil vernünftig?
Häufige Fehler:
  • FALSCH: (3 + 2i) - (1 + i) = 2 + 1i | RICHTIG: = 2 + i (das sind das gleiche!)
  • FALSCH: Nur eine Komponente subtrahieren | RICHTIG: Beide subtrahieren
  • FALSCH: (3 + 2i) - (1 + i) = (3 - 1) + (2 - 1) | RICHTIG: = (3-1) + (2-1)i = 2 + i
  • FALSCH: Vorzeichenregel vergessen | RICHTIG: -(1 + i) = -1 - i
























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