Multiplikation und Division in Polarform

Einfache Operationen mit Betrag und Winkel statt Komponenten

Die Polarform hat einen großen Vorteil: Die Multiplikation und Division werden deutlich einfacher als in Normalform! Statt aufwendiges Ausmultiplizieren oder Erweitern mit der Konjugierten müssen wir nur Beträge multiplizieren/dividieren und Winkel addieren/subtrahieren.

Dies ist einer der Hauptgründe, warum die Polarform in der Praxis so wichtig ist.

Multiplikation in Polarform

Das Konzept: Beträge multiplizieren, Winkel addieren

Bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen in Polarform gilt eine elegante Regel:

Multiplikation in Polarform:

z₁ · z₂ = r₁·r₂ · e^(i(φ₁ + φ₂))

In Worte:
Beträge multiplizieren: |z₁ · z₂| = |z₁| · |z₂|
Winkel addieren: arg(z₁ · z₂) = arg(z₁) + arg(z₂)

Multiplikation Polarform Formel

Geometrische Interpretation

Geometrisch bedeutet die Multiplikation:

Skalierung

Der Vektor wird um den Faktor r₂ gestreckt oder gestaucht

|z₂| > 1: Verlängerung
|z₂| < 1: Verkürzung

Rotation

Der Vektor wird um den Winkel φ₂ gegen den Uhrzeigersinn gedreht

φ₂ > 0: Gegenuhrzeiger
φ₂ < 0: Im Uhrzeiger

Geometrische Multiplikation (2+2i)·(3+i)

Abbildung 1: Geometrische Darstellung der Multiplikation

Beispiel 1: z₁ = 3·e^(i·30°) und z₂ = 2·e^(i·45°)

Gegeben: z₁ = 3·e^(i·30°), z₂ = 2·e^(i·45°)
Parameter: r₁ = 3, φ₁ = 30°, r₂ = 2, φ₂ = 45°
Beträge multiplizieren: r = r₁ · r₂ = 3 · 2 = 6
Winkel addieren: φ = φ₁ + φ₂ = 30° + 45° = 75°
Resultat (Polarform): z₁ · z₂ = 6·e^(i·75°)
Falls Normalform gebraucht: z = 6(cos 75° + i sin 75°) ≈ 1,55 + 5,80i

Beispiel 2: z₁ = 5·e^(i·60°) und z₂ = 2·e^(i·120°)

Gegeben: z₁ = 5·e^(i·60°), z₂ = 2·e^(i·120°)
Parameter: r₁ = 5, φ₁ = 60°, r₂ = 2, φ₂ = 120°
Beträge multiplizieren: r = 5 · 2 = 10
Winkel addieren: φ = 60° + 120° = 180°
Resultat (Polarform): z₁ · z₂ = 10·e^(i·180°)
Normalform: z = 10·cos(180°) + i·10·sin(180°) = 10·(-1) + i·0 = -10

Beispiel 3: Mit negativem Winkel

Gegeben: z₁ = 4·e^(i·(-30°)), z₂ = 3·e^(i·50°)
Beträge multiplizieren: r = 4 · 3 = 12
Winkel addieren: φ = -30° + 50° = 20°
Resultat: z₁ · z₂ = 12·e^(i·20°)

Division in Polarform

Das Konzept: Beträge dividieren, Winkel subtrahieren

Ähnlich wie bei der Multiplikation ist auch die Division in Polarform elegant:

Division in Polarform:

z₁ / z₂ = (r₁/r₂) · e^(i(φ₁ - φ₂))

In Worte:
Beträge dividieren: |z₁ / z₂| = |z₁| / |z₂|
Winkel subtrahieren: arg(z₁ / z₂) = arg(z₁) - arg(z₂)

Division Betrag Division Winkel

Beispiel 1: z₁ = 12·e^(i·75°) und z₂ = 4·e^(i·30°)

Gegeben: z₁ = 12·e^(i·75°), z₂ = 4·e^(i·30°)
Parameter: r₁ = 12, φ₁ = 75°, r₂ = 4, φ₂ = 30°
Beträge dividieren: r = r₁ / r₂ = 12 / 4 = 3
Winkel subtrahieren: φ = φ₁ - φ₂ = 75° - 30° = 45°
Resultat (Polarform): z₁ / z₂ = 3·e^(i·45°)
Normalform: z = 3(cos 45° + i sin 45°) = 3·(√2/2 + i·√2/2) ≈ 2,12 + 2,12i

Beispiel 2: z₁ = 10·e^(i·180°) und z₂ = 2·e^(i·90°)

Gegeben: z₁ = 10·e^(i·180°), z₂ = 2·e^(i·90°)
Parameter: r₁ = 10, φ₁ = 180°, r₂ = 2, φ₂ = 90°
Beträge dividieren: r = 10 / 2 = 5
Winkel subtrahieren: φ = 180° - 90° = 90°
Resultat (Polarform): z₁ / z₂ = 5·e^(i·90°)
Normalform: z = 5(cos 90° + i sin 90°) = 5(0 + i·1) = 5i

Vergleich: Normalform vs. Polarform

Die Vorteile der Polarform werden bei Multiplikation und Division besonders deutlich:

Operation In Normalform In Polarform
Multiplikation Ausmultiplizieren aller Terme, i² ersetzen, Zusammenfassen Beträge multiplizieren, Winkel addieren
Division Mit Konjugierter erweitern, ausmultiplizieren, vereinfachen Beträge dividieren, Winkel subtrahieren
Komplexität Sehr aufwändig Sehr einfach
Rechenaufwand Mehrere Schritte Ein bis zwei Schritte
Fazit:

Für Multiplikation und Division ist die Polarform eindeutig überlegen. Deshalb wird in der Praxis oft in Polarform umgerechnet, die Operation durchgeführt, und dann zurück in Normalform konvertiert, falls nötig.

Bonus: Potenzen in Polarform (Moivre-Formel)

Ein großer Vorteil der Polarform: Die Moivre-Formel macht auch Potenzen einfach zu berechnen!

Moivre-Formel:

z^n = r^n · e^(i·n·φ)

In Worte: Betrag zur Potenz n, Winkel mit n multiplizieren

Beispiel: (2·e^(i·30°))³
  • Betrag: 2³ = 8
  • Winkel: 3 · 30° = 90°
  • Resultat: z³ = 8·e^(i·90°) = 8i

Praktische Anwendungen

Elektrotechnik: AC-Schaltungen

  • Impedanz-Berechnung: Z₁ · Z₂ durch Multiplikation der Phasoren
  • Leistungsfluss: Schnelle Berechnung über Polarform

Signalverarbeitung

  • Filter: Frequenzgang durch Multiplikation/Division
  • Phase und Magnitude: Getrennte Behandlung durch Polarform

Mechanik und Ingenieurwesen

  • Vibration: Schwingungen als komplexe Größen
  • Rotationen: Multiplikation mit e^(iφ) = Drehung um φ

Zusammenfassung und Algorithmus

Operation Betrag Winkel Formel
Multiplikation r = r₁ · r₂ φ = φ₁ + φ₂ z₁ · z₂ = r₁r₂ · e^(i(φ₁+φ₂))
Division r = r₁ / r₂ φ = φ₁ - φ₂ z₁ / z₂ = (r₁/r₂) · e^(i(φ₁-φ₂))
Potenz (n) r = r^n φ = n · φ z^n = r^n · e^(i·n·φ)

Tipps und häufige Fehler

Praktische Tipps:
  • Werte überprüfen: Ist der Betrag der Lösung r₁·r₂ oder r₁/r₂? ✓
  • Winkelbereich kontrollieren: Wenn φ > 360°, dann 360° subtrahieren
  • Vorzeichen bei Subtraktion: φ₁ - φ₂ kann negativ sein (das ist OK!)
  • Rück-Konvertierung: Wenn Normalform gebraucht, cos/sin verwenden
  • Verifikation: Betrag überprüfen: |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂| ✓
Häufige Fehler:
  • FALSCH: Bei Multiplikation Winkel multiplizieren | RICHTIG: Winkel addieren!
  • FALSCH: Bei Division Winkel addieren | RICHTIG: Winkel subtrahieren!
  • FALSCH: Betrag negativ | RICHTIG: r ≥ 0 immer!
  • FALSCH: Winkelbereich ignorieren | RICHTIG: Bei Bedarf normalisieren (0-360° oder -180 bis 180°)
























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