Direkte Proportionalität

Online-Rechner und Formeln zur Berechnung der direkten Proportionalität

Proportionalitäts-Rechner

Direkte Proportionalität

Bei direkter Proportionalität führt die Verdopplung einer Größe zur Verdopplung der anderen. Die Proportionalitätskonstante k beschreibt das konstante Verhältnis: y = k · x.

y = k · x (Grundformel der direkten Proportionalität)
Was soll berechnet werden?
Bekannte Werte eingeben
Unabhängige Variable
Proportionalitätskonstante
Abhängige Variable
Berechnungsergebnis
Variable y =
Berechnung: y = k · x (direkte Proportionalität)

Proportionalitäts Info

Eigenschaften

Direkte Proportionalität: y = k · x

y = k·x k = y/x linear

Regel: Verdopplung von x führt zu Verdopplung von y
Graph: Gerade durch den Ursprung

Schnelle Beispiele
Geschwindigkeit: v = const, s = v·t
Kosten: Preis = const, Gesamt = Preis·Anzahl
Fläche: Rechteck mit b = const, A = b·h

Formeln der direkten Proportionalität

Grundformel
\[y = k \cdot x\]

y ist direkt proportional zu x mit Konstante k

Konstante berechnen
\[k = \frac{y}{x}\]

Proportionalitätskonstante aus gegebenen Werten

x berechnen
\[x = \frac{y}{k}\]

Unabhängige Variable aus y und k

Eigenschaften
\[\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2} = k\]

Verhältnis bleibt konstant (Verhältnisgleichheit)

Quotientengleichheit
\[\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2}\]

Verhältnis der y-Werte gleich Verhältnis der x-Werte

Grafische Darstellung
\[f(x) = kx \text{ (Ursprungsgerade)}\]

Lineare Funktion durch den Ursprung

Beispielrechnungen zur direkten Proportionalität

Beispiel: Geschwindigkeit und Strecke
Gegeben
x = 4 Stunden y = 200 km

Ein Auto fährt 4 Stunden und legt 200 km zurück.

Schritt 1: Proportionalitätskonstante k berechnen
Formel: k = y/x
k = 200 km ÷ 4 h = 50 km/h
k = 50 km/h (Geschwindigkeit)
Schritt 2: Strecke für 6 Stunden berechnen
Formel: y = k · x
y = 50 km/h × 6 h = 300 km
Ergebnis: In 6 Stunden werden 300 km zurückgelegt
\[k = \frac{200 \text{ km}}{4 \text{ h}} = 50 \frac{\text{km}}{\text{h}}\] \[y = 50 \cdot 6 = 300 \text{ km}\]
Proportionalitätsprüfung
t = 2h: s = 50 × 2 = 100 km
t = 4h: s = 50 × 4 = 200 km
t = 6h: s = 50 × 6 = 300 km
t = 8h: s = 50 × 8 = 400 km

Verdopplung der Zeit → Verdopplung der Strecke ✓

Weitere Beispiele
Kosten: 3€/kg → 5kg kosten 15€
Lohn: 20€/h → 6h ergeben 120€
Verbrauch: 8L/100km → 250km: 20L
Eigenschaften der direkten Proportionalität
Linear
Gerade durch Ursprung
Konstantes k
Steigung bleibt gleich
Verdopplung
x doppelt → y doppelt
y/x = konstant
Quotient unveränderlich

Die direkte Proportionalität beschreibt lineare Zusammenhänge

Anwendungen der direkten Proportionalität

Direkte Proportionalität begegnet uns in vielen Bereichen des täglichen Lebens:

Handel & Wirtschaft
  • Warenkauf: Preis × Anzahl = Gesamtkosten
  • Löhne: Stundenlohn × Arbeitszeit = Gehalt
  • Produktion: Rate × Zeit = Gesamtmenge
  • Währungsumrechnung bei festem Kurs
Technik & Verkehr
  • Geschwindigkeit: v × t = Strecke
  • Kraftstoffverbrauch pro 100 km
  • Materialverbrauch pro Einheit
  • Elektrischer Strom: U = R × I (Ohmsches Gesetz)
Naturwissenschaften
  • Dichte: ρ = m/V (bei konstanter Dichte)
  • Federkraft: F = k × s (Hookesches Gesetz)
  • Radioaktiver Zerfall (exponentiell)
  • Lichtgeschwindigkeit: c × t = Entfernung
Geometrie & Maße
  • Umfang: U = π × d (Kreisumfang)
  • Fläche: A = a × b (Rechteck bei const. a)
  • Maßstabsrechnungen
  • Ähnlichkeitsverhältnisse

Direkte Proportionalität: Grundlage linearer Zusammenhänge

Direkte Proportionalität beschreibt einen der fundamentalsten Zusammenhänge in Mathematik und Naturwissenschaften. Zwei Größen sind direkt proportional, wenn ihre Quotient konstant ist: y/x = k. Diese einfache Beziehung y = k·x definiert eine lineare Funktion durch den Ursprung und bildet die Grundlage für das Verständnis linearer Zusammenhänge. Von Preisberechnungen bis zu physikalischen Gesetzmäßigkeiten zeigt die direkte Proportionalität, wie mathematische Modelle reale Phänomene beschreiben können.

Charakteristika
  • Lineare Beziehung: y = kx
  • Graph durch Ursprung (0,0)
  • Konstante Steigung k
  • Quotient y/x bleibt konstant
Erkennungsmerkmale
  • Verdopplung → Verdopplung
  • Halbierung → Halbierung
  • Verhältnisgleichheit
  • Dreisatzrechnungen lösbar
Abgrenzungen
  • Nicht bei y-Achsenabschnitt ≠ 0
  • Unterschied zu indirekter Proportionalität
  • Nicht bei exponentiellen Zusammenhängen
  • Vorsicht bei Rundungsfehlern
Zusammenfassung

Die direkte Proportionalität ist mehr als nur eine mathematische Formel – sie ist ein Denkmodell für lineare Zusammenhänge in der realen Welt. Die einfache Beziehung y = k·x ermöglicht Vorhersagen, Berechnungen und das Verstehen von Ursache-Wirkung-Verhältnissen. Ob beim Einkaufen, in der Physik oder im Beruf – die direkte Proportionalität hilft uns, komplexe Situationen auf einfache mathematische Beziehungen zu reduzieren und dadurch berechenbar und vorhersagbar zu machen. Sie zeigt eindrucksvoll, wie Mathematik praktisches Denken strukturiert und vereinfacht.