Beschreibung und Formeln zur Berechnung von Punkten im Koordinatensystem
Jeder Punkt kann durch ein Zahlenpaar \((x, y)\) beschrieben werden. Die Zahlen sind die Entfernung des Punkt \(A\) von der y-Achse \((x)\) und von der x-Achse \((y)\). Das Paar \((x, y)\) werden die Koordinaten des Punktes genannt. Alle Punkte links von der y-Achse haben eine negative x-Koordinate. Alle Punkte unterhalb der x-Achse haben eine negative y-Koordinate.
Finde die Entfernung zwischen den zwei Punkten \(A (1,2)\) und \(B (4,5)\).
Um die Länge \(AB\) zu finden, verwenden wir den Satz von Pythagoras. \(AB\) ist die Hypotenuse eines entsprechenden rechtwinkligen Dreiecks \(ABC\). Das bedeutet, dass \(C\) in diesem Fall der Punkt \((4,2)\) sein muss
Die Distanz \(AC\) ist \(4 − 1 = 3\)
Die Distanz \(BC\) ist \(5 − 2 = 3\)
Nach dem Satz von Pythagoras gilt
\(AB^2 = AC^2 + BC^2\)
Ersetzen Sie die Werte für \(AC\) und \(BC\)
\(AB^2 = 3^2 + 3^2\)
\(AB^2 = 9 + 9 =18\)
\(AB = \sqrt{18} = 4.243\)
Die Distanz zwischen \(A\) und \(B\) ist \(4.243\).
Sie können eine allgemeine Formel für die Verwendung ableiten
\(AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\)
Ein weiteres Beispiel finden Sie hier
Finde den Mittelpunkt zwischen den Punkten \(A (2, 3)\) und \(B (4, 5)\).
Wir nennen \(C\) den Mittelpunkt des Liniensegments. Um die Koordinaten von \(C\) zu finden, muss die x-Koordinate der Durchschnitt der x-Koordinaten von \(A\) und \(B\) sein. Die y-Koordinate muss der Mittelwert der y-Koordinaten von \(A\) und \(B\) sein.
Die x-Koordinate ist \(\displaystyle \frac{1}{2} (2 + 4) = 3\). Die y-Koordinate ist \(\displaystyle \frac{1}{2} (3 + 5) = 4\). Also hat \(C\) die Koordinaten \((3, 4)\)
Jetzt können wir eine allgemeine Formel für den Mittelpunkt ableiten. Wenn die beiden Punkte \(A (x1, y1)\) und \(B (x2, y2)\) sind, ist der Mittelpunkt \(C\) gleich
\(\displaystyle \frac{1}{2} (x_1 + x_2),\frac{1}{2} (y_1 + y_2)\)
English