Multiplikation komplexer Zahlen

Onlinerechner zur Multiplikation komplexer Zahlen mit Schritt-für-Schritt Erklärung

Multiplikations-Rechner

Multiplikation komplexer Zahlen

Die Multiplikation komplexer Zahlen erfolgt durch Ausmultiplizieren der Klammern und Beachten von \(i^2 = -1\).

Multiplikator z₁ = a + bi
+
i
Multiplikand z₂ = c + di
+
i
Berechnungsergebnis
Produkt z₁·z₂ =

Multiplikation - Eigenschaften

FOIL-Methode

First, Outer, Inner, Last
Systematisches Ausmultiplizieren der Klammern

Formel
\[(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i\]
Realteil ac - bd
Imaginärteil ad + bc
Wichtig: \(i^2 = -1\)

Beim Ausmultiplizieren entsteht \(i^2\), das durch \(-1\) ersetzt wird!

Rechenregeln
  • Kommutativ: \(z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1\)
  • Assoziativ: \((z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)\)
  • Distributiv: \(z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2 + z_1z_3\)
  • Betrag: \(|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|\)
In Polarform

Einfacher: Beträge multiplizieren, Winkel addieren
\(r_1e^{i\phi_1} \cdot r_2e^{i\phi_2} = r_1r_2 \cdot e^{i(\phi_1+\phi_2)}\)

Formeln zur Multiplikation komplexer Zahlen

Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen erfolgt durch Ausmultiplizieren nach dem Permanenzprinzip - die Rechenregeln der reellen Zahlen bleiben gültig.

Ausmultiplizieren
\[(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2\]

Alle Terme der ersten Klammer mit allen der zweiten multiplizieren

Zusammenfassen
\[= (ac - bd) + (ad + bc)i\]

Mit \(i^2 = -1\) und Trennung von Real- und Imaginärteil

Schritt-für-Schritt Beispiel

Berechnung: \((3+i) \cdot (1-2i)\)
Schritt 1: Ausmultiplizieren

\((3+i)(1-2i)\)

\(= 3 \cdot 1 + 3 \cdot (-2i) + i \cdot 1 + i \cdot (-2i)\)

\(= 3 - 6i + i - 2i^2\)

Schritt 2: \(i^2\) ersetzen

Da \(i^2 = -1\):

\(3 - 6i + i - 2i^2\)

\(= 3 - 6i + i - 2(-1)\)

Schritt 3: Vereinfachen

\(3 - 6i + i + 2\)

Realteil: \(3 + 2 = 5\)

Imaginärteil: \(-6i + i = -5i\)

Schritt 4: Ergebnis

\((3+i)(1-2i) = 5 - 5i\)

Verifikation mit Formel

Realteil: \(ac - bd\)
\(= 3 \cdot 1 - 1 \cdot (-2) = 3 + 2 = 5\) ✓

Imaginärteil: \(ad + bc\)
\(= 3 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 = -6 + 1 = -5\) ✓

FOIL-Methode im Detail

Was ist FOIL?

FOIL ist eine Merkhilfe für das Ausmultiplizieren von zwei Binomen:
First: Erste Terme multiplizieren
Outer: Äußere Terme multiplizieren
Inner: Innere Terme multiplizieren
Last: Letzte Terme multiplizieren

Beispiel: (3+i)(1-2i)

F: \(3 \cdot 1 = 3\)

O: \(3 \cdot (-2i) = -6i\)

I: \(i \cdot 1 = i\)

L: \(i \cdot (-2i) = -2i^2 = 2\)

Summe: \(3 - 6i + i + 2 = 5 - 5i\)

Visualisierung
   (3 + i) · (1 - 2i)
    ↓   ↓     ↓    ↓
    F   O     I    L
    
F: 3·1 = 3
O: 3·(-2i) = -6i
I: i·1 = i
L: i·(-2i) = -2i² = 2
Alternative: Distributivgesetz

\((a+bi)(c+di)\)
\(= a(c+di) + bi(c+di)\)
\(= ac + adi + bci + bdi^2\)
\(= (ac-bd) + (ad+bc)i\)

Multiplikation komplexer Zahlen - Detaillierte Beschreibung

Permanenzprinzip

Nach dem Permanenzprinzip sollen die Rechenregeln der reellen Zahlen auch für komplexe Zahlen gelten. Daher multiplizieren wir komplexe Zahlen wie Binome.

Vorgehen:
1. Klammern ausmultiplizieren (wie bei reellen Zahlen)
2. \(i^2\) durch \(-1\) ersetzen
3. Real- und Imaginärteile zusammenfassen
4. Ergebnis in Normalform \(a + bi\) schreiben

Wichtig: \(i^2 = -1\)

Die imaginäre Einheit \(i\) ist definiert durch die Eigenschaft \(i^2 = -1\). Dies ist der Schlüssel zur Multiplikation komplexer Zahlen.

Häufiger Fehler!

❌ Falsch: \(i^2 = 1\) oder \(i^2\) vergessen
✅ Richtig: \(i^2 = -1\) konsequent anwenden

Praktische Anwendungen

Die Multiplikation komplexer Zahlen findet in vielen technischen Bereichen Anwendung:

Anwendungsgebiete:
• Elektrotechnik: Impedanzberechnungen
• Signalverarbeitung: Filterdesign
• Quantenmechanik: Wellenfunktionen
• Regelungstechnik: Übertragungsfunktionen

Polarform (einfacher!)

In Polarform ist die Multiplikation viel einfacher:

\[r_1e^{i\phi_1} \cdot r_2e^{i\phi_2} = r_1r_2 \cdot e^{i(\phi_1+\phi_2)}\]

Regel: Beträge multiplizieren, Winkel addieren

Spezialfälle

  • Mit i multiplizieren: \(z \cdot i = (a+bi)i = -b+ai\) (90° Drehung)
  • Mit sich selbst: \(z^2 = (a+bi)^2 = a^2-b^2+2abi\)
  • Mit Konjugierten: \(z \cdot \overline{z} = |z|^2\) (reell!)
  • Mit 1: \(z \cdot 1 = z\) (neutrales Element)

Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye