Matrizensubtraktion
Subtrahieren von Matrizen mit Beispielen und Regeln
Mit Matrizen kann genauso gerechnet werden wie mit normalen Zahlen. Die Subtraktion von Matrizen funktioniert ähnlich wie die Addition, folgt aber der Regel der element-weisen Subtraktion.
Um Matrizen und Skalare (normale Zahlen) zu unterscheiden, werden Matrizen mit Großbuchstaben (A, B, X, Y) und Skalare mit Kleinbuchstaben (a, b, x, y) geschrieben.
Voraussetzungen für die Subtraktion
Wie bei der Addition können nicht alle Matrizen voneinander subtrahiert werden. Es gibt die gleiche grundlegende Bedingung:
- Gleiche Zeilenanzahl: Beide Matrizen müssen die gleiche Anzahl von Zeilen haben
- Gleiche Spaltenanzahl: Beide Matrizen müssen die gleiche Anzahl von Spalten haben
- Notation: Wenn A eine m × n Matrix ist, muss B auch eine m × n Matrix sein
- Ergebnis: Die Differenzmatrix ist ebenfalls eine m × n Matrix
Beispiele: Welche Matrizen können subtrahiert werden?
Matrix A: 2 × 3 (2 Zeilen, 3 Spalten)
Matrix B: 2 × 3 (2 Zeilen, 3 Spalten)
Grund: Beide Matrizen haben die gleichen Dimensionen (2 × 3) → Subtraktion möglich ✓
Matrix A: 2 × 3 (2 Zeilen, 3 Spalten)
Matrix B: 2 × 2 (2 Zeilen, 2 Spalten)
Grund: Die Matrizen haben unterschiedliche Dimensionen (2 × 3 vs. 2 × 2) → Subtraktion NICHT möglich ✗
Die Subtraktionsregel
Wenn die Dimensionen übereinstimmen, wird die Subtraktion element-weise durchgeführt.
(A - B)_ij = a_ij - b_ij
Das Element in Zeile i und Spalte j der Differenzmatrix ist die Differenz der entsprechenden Elemente aus A und B.
Abbildung 1: Allgemeine Formel für die Matrizensubtraktion
Beziehung zur Addition
Die Subtraktion kann als Addition mit der negierten Matrix verstanden werden:
A - B = A + (-B)
Detaillierte Beispiele
Beispiel 1: 2 × 3 Matrizen subtrahieren
Schritt-für-Schritt Berechnung
Abbildung 2: Konkretes Zahlenbeispiel der Matrizensubtraktion
Beispiel 2: 3 × 3 Matrizen subtrahieren
Subtraktion größerer Matrizen
Beispiel 3: Subtraktion mit negativen Ergebnissen
Wenn das Ergebnis negativ ist
Eigenschaften der Matrizensubtraktion
Nicht kommutativ
A - B ≠ B - A
Die Reihenfolge ist entscheidend
Nicht assoziativ
(A - B) - C ≠ A - (B - C)
Klammern können nicht verschoben werden
Mit Nullmatrix
A - 0 = A
Subtraktion mit Nullmatrix ergibt A
Inverse zur Addition
A - B = A + (-B)
Subtraktion ist Addition mit negierter Matrix
Die Differenzmatrix
Das Resultat der Subtraktion zweier Matrizen wird Differenzmatrix genannt.
- Dimensionen: Hat die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten wie die Ausgangsmatrizen
- Elemente: Jedes Element ist die Differenz der entsprechenden Elemente
- Notation: Wird oft mit C = A - B bezeichnet
- Eindeutigkeit: Es gibt nur eine Differenzmatrix für gegebene A und B
- Beziehung zu Addition: C = A - B ist equivalent zu C = A + (-B)
Zusammenfassung
| Aspekt | Addition | Subtraktion |
|---|---|---|
| Voraussetzung | Gleiche Dimension | Gleiche Dimension |
| Methode | (A + B)_ij = a_ij + b_ij | (A - B)_ij = a_ij - b_ij |
| Kommutativ | A + B = B + A ✓ | A - B ≠ B - A ✗ |
| Assoziativ | (A + B) + C = A + (B + C) ✓ | (A - B) - C ≠ A - (B - C) ✗ |
| Neutrales Element | A + 0 = A | A - 0 = A |
Tipps und häufige Fehler
- Dimensionen überprüfen: Vor der Subtraktion immer die Dimensionen kontrollieren
- Vorzeichen beachten: Beim Subtrahieren negative Zahlen korrekt verarbeiten
- Systematisch vorgehen: Element für Element, Zeile für Zeile bearbeiten
- Reihenfolge wichtig: A - B ≠ B - A! Die Reihenfolge ändert das Vorzeichen
- Verifikation: Ergebnis überprüfen, ob alle Elemente korrekt berechnet sind
- FALSCH: Matrizen unterschiedlicher Dimension subtrahieren | RICHTIG: Dimensionen müssen gleich sein!
- FALSCH: A - B = B - A annehmen | RICHTIG: Nicht kommutativ! Reihenfolge zählt
- FALSCH: Elemente aus verschiedenen Positionen subtrahieren | RICHTIG: Nur entsprechende Elemente subtrahieren
- FALSCH: Vorzeichen beim Subtrahieren vergessen | RICHTIG: Vorzeichen sorgfältig verarbeiten
Online-Rechner
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