Inverse Matrix nach Gauß-Jordan
Invertierung von Matrizen nach dem Gauß-Jordan-Algorithmus
Auf dieser Seite wird beschrieben, wie man die Inverse einer Matrix mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus berechnet.
Nur quadratische Matrizen können eine Inverse besitzen. Aber auch für quadratischen Matrizen kann nicht immer eine Inverse berechnet werden
Eine Matrix für die es keine Inverse gibt nennt man eine singuläre Matrix. Wenn die Matrix eine Inverse hat, sagt man, dass die Matrix nicht singulär ist.
Daher ist es hilfreich, besonders für große Matrizen, wenn wir vor der Berechnung feststellen können, ob eine Inverse existiert. Das kann man indem für die Matrix eine einzelne Zahl, die Determinante berechnet, die die Matrix charakterisiert.
Wenn die Determinante gleich Null ist, handelt es sich um eine singuläre Matrix, die also nicht invertiert werden kann. Die Beschreibung zur Berechnung der Determinante finden Sie hier auf einer anderen Seite.
Inverse Matrix nach Gauß-Jordan
Gesucht wird die Inverse der Matrix A
\(\displaystyle A= \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & -1 \\ 4 & 8 & 5 \end{bmatrix}\)
Zuerst schreiben wir eine Einheitsmatrix neben die Matrix A
\(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & -1 \\ 4 & 8 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
Durch Zeilenumformung wird dann die Matrix A in eine Einheitsmatrix geformt. Dazu werden die Zeilen solange umgeformt, bis das Ergebnis erreicht ist. Alle Rechnungen die links ausgeführt werden, müssen auch recht ausgeführt werden. Wenn die linke Matrix zur Einheitsmatrix geformt ist, haben wir rechts die Inverse.
Beispiel
Das folgende Beispiel zeigt die einzelnen Schritte für die Matrix oben.
Ziehe die erste Zeile zweimal von der zweiten ab
\(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 4 & 8 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
Ziehe die erste Zeile vier mal von der dritten ab
\(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\-4 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
Addiere die dritte Zeile drei mal auf die zweiten auf
\(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ -14 & 1 & 3 \\-4 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
Ziehe die zweite Zeile zwei mal von der ersten ab
\(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}29 & -2 & -6 \\ -14 & 1 & 3 \\-4 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
Ziehe die dritte Zeile ein mal von der ersten ab
\(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}33 & -2 & -7 \\ -14 & 1 & 3 \\-4 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
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