Matrizenmultiplikation

Multiplikation von Matrizen mit Beispielen und Regeln

Mit Matrizen kann genauso gerechnet werden wie mit normalen Zahlen. Die Multiplikation von Matrizen ist eine der wichtigsten Operationen und folgt speziellen Regeln, die für die Anwendung in linearen Gleichungssystemen konstruiert wurden.

Die Matrizenmultiplikation ist komplexer als Addition oder Subtraktion und erfordert sorgfältige Aufmerksamkeit auf die Dimensionen und die richtige Berechnung der Elemente.

Die Dimensionsregel für Multiplikation

Nicht alle Matrizenpaare können miteinander multipliziert werden. Die zentrale Regel ist:

Multiplikationsbedingung:
  • Spalten der ersten Matrix = Zeilen der zweiten Matrix
  • Notation: A (m × n) kann mit B (n × p) multipliziert werden
  • Ergebnis: Die Produktmatrix C hat die Dimension m × p
  • Merksatz: (m × n) · (n × p) = (m × p)

Beispiele: Welche Matrizen können multipliziert werden?

✓ Diese Matrizen KÖNNEN multipliziert werden:

Matrix A: 2 × 3 (2 Zeilen, 3 Spalten)

Matrix B: 3 × 2 (3 Zeilen, 2 Spalten)

Multiplikation möglich (2×3) · (3×2)

Grund: Spalten von A (3) = Zeilen von B (3) → Multiplikation möglich ✓
Ergebnis: C wird 2 × 2 Matrix (2 Zeilen, 2 Spalten)

✗ Diese Matrizen können NICHT multipliziert werden:

Matrix A: 2 × 3 (2 Zeilen, 3 Spalten)

Matrix B: 2 × 2 (2 Zeilen, 2 Spalten)

Multiplikation nicht möglich (2×3) · (2×2)

Grund: Spalten von A (3) ≠ Zeilen von B (2) → Multiplikation NICHT möglich ✗

Die Multiplikationsmethode: Zeile × Spalte

Das Produkt wird berechnet, indem man Skalarprodukte aus Zeilenvektoren der ersten Matrix und Spaltenvektoren der zweiten Matrix bildet.

Berechnungsformel:

c_ij = a_i1 · b_1j + a_i2 · b_2j + ... + a_in · b_nj

Das Element c_ij entsteht durch das Skalarprodukt der i-ten Zeile von A mit der j-ten Spalte von B.

Das Skalarprodukt (Dot Product)

Ein Skalarprodukt ist die Summe der Produkte entsprechender Elemente aus einem Vektor mit einem anderen:

Skalarprodukt Zeilenvektor Skalarprodukt Berechnung

Abbildung 1: Berechnung eines Skalarprodukts

Beispiel: Skalarprodukt berechnen
Zeilenvektor: [1, 2, 3]
Spaltenvektor: [2, -1, 1]ᵀ
Multiplikation: 1·2 + 2·(-1) + 3·1
Berechnung: 2 - 2 + 3 = 3
Resultat: [1, 2, 3] · [2, -1, 1]ᵀ = 3

Detaillierte Beispiele

Beispiel 1: 2 × 2 Matrizen multiplizieren

Allgemeine Formel für 2 × 2 Matrizen
Matrix A: [a, b] [c, d]
Matrix B: [i, j] [k, l]
Element c₁₁: a·i + b·k
Element c₁₂: a·j + b·l
Element c₂₁: c·i + d·k
Element c₂₂: c·j + d·l
Resultat C: [a·i + b·k, a·j + b·l] [c·i + d·k, c·j + d·l]

Beispiel 2: 2 × 2 Matrizen mit Zahlen

Konkretes Zahlenbeispiel
Matrix A: [1, 2] [3, 4]
Matrix B: [5, 6] [7, 8]
Dimensionsprüfung: A ist 2×2, B ist 2×2 → (2×2)·(2×2) = 2×2 ✓
Element c₁₁: 1·5 + 2·7 = 5 + 14 = 19
Element c₁₂: 1·6 + 2·8 = 6 + 16 = 22
Element c₂₁: 3·5 + 4·7 = 15 + 28 = 43
Element c₂₂: 3·6 + 4·8 = 18 + 32 = 50
Resultat A × B: [19, 22] [43, 50]
2×2 Multiplikation Schritt 1 2×2 Multiplikation Schritt 2 2×2 Multiplikation Schritt 3

Abbildung 2: Visuelle Darstellung der 2 × 2 Matrizenmultiplikation

Beispiel 3: Größere Matrizen (2×3) × (3×4)

Multiplikation mit unterschiedlichen Dimensionen
Matrix A (2×3): [1, 2, 3] [-1, 4, 5]
Matrix B (3×4): [2, 3, -4, 5] [-1, 0, -1, 3] [1, 2, 3, 4]
Dimensionsprüfung: A ist 2×3, B ist 3×4 → (2×3)·(3×4) = 2×4 ✓
Element c₁₁: 1·2 + 2·(-1) + 3·1 = 2 - 2 + 3 = 3
Element c₁₂: 1·3 + 2·0 + 3·2 = 3 + 0 + 6 = 9
Element c₁₃: 1·(-4) + 2·(-1) + 3·3 = -4 - 2 + 9 = 3
Element c₁₄: 1·5 + 2·3 + 3·4 = 5 + 6 + 12 = 23
Element c₂₁: (-1)·2 + 4·(-1) + 5·1 = -2 - 4 + 5 = -1
Element c₂₂: (-1)·3 + 4·0 + 5·2 = -3 + 0 + 10 = 7
Element c₂₃: (-1)·(-4) + 4·(-1) + 5·3 = 4 - 4 + 15 = 15
Element c₂₄: (-1)·5 + 4·3 + 5·4 = -5 + 12 + 20 = 27
Resultat A × B (2×4): [3, 9, 3, 23] [-1, 7, 15, 27]
Größere Multiplikation Schritt 1 Größere Multiplikation Schritt 2 Größere Multiplikation Schritt 3

Abbildung 3: Matrizenmultiplikation mit größeren Matrizen

Eigenschaften der Matrizenmultiplikation

Assoziativität

(A · B) · C = A · (B · C)

Klammern können verschoben werden

Distributivität

A · (B + C) = A · B + A · C

Ausmultiplizieren möglich

Nicht kommutativ

A · B ≠ B · A

Reihenfolge ist entscheidend

Mit Einheitsmatrix

A · I = I · A = A

Neutrale Element

Wichtige Hinweise und Besonderheiten

Zentrale Eigenschaften:
  • Nicht kommutativ: A · B ≠ B · A! Die Reihenfolge ist entscheidend
  • Dimensionen: Spalten(A) muss = Zeilen(B) sein
  • Ergebnis-Dimension: (m × n) · (n × p) = (m × p)
  • Zeile × Spalte: Element c_ij = i-te Zeile von A · j-te Spalte von B
  • Skalarprodukt: Multiplikation und Addition kombiniert
NICHT vergessen:
  • Dimensionsprüfung: Immer vor der Multiplikation überprüfen!
  • Reihenfolge zählt: A · B ≠ B · A (nicht kommutativ)
  • Element-weise: Jedes Element ist ein Skalarprodukt
  • Aufwand: Matrizenmultiplikation ist rechenintensiv!

Zusammenfassung

Aspekt Beschreibung
Dimensionsbedingung Spalten(A) = Zeilen(B)
Ergebnis-Dimension (m × n) · (n × p) = (m × p)
Berechnung c_ij = Σ a_ik · b_kj (Zeile × Spalte)
Kommutativ Nein: A · B ≠ B · A
Assoziativ Ja: (A · B) · C = A · (B · C)
Distributiv Ja: A · (B + C) = A · B + A · C

Tipps und häufige Fehler

Hilfreiche Tipps:
  • Dimensions-Matrix zeichnen: Visualisieren Sie die Dimensionen (m×n)·(n×p)
  • Systematisch arbeiten: Element für Element, Zeile für Zeile berechnen
  • Skalarproduke sorgfältig: Alle Multiplikationen addieren, nicht vergessen
  • Reihenfolge überprüfen: A·B ≠ B·A! Zuerst prüfen, ob möglich
  • Papier nutzen: Große Matrizen erfordern sorgfältige Notation
Häufige Fehler:
  • FALSCH: Dimensionsregel ignorieren | RICHTIG: Spalten(A) = Zeilen(B)!
  • FALSCH: A · B = B · A annehmen | RICHTIG: Nicht kommutativ!
  • FALSCH: Element-weise Multiplikation (wie bei Addition) | RICHTIG: Zeile × Spalte Skalarprodukt
  • FALSCH: Produkte vergessen zu addieren | RICHTIG: Alle Produkte summieren

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