Polarform komplexer Zahlen

Umwandlung von Normalform in Polarform - Betrag und Winkel berechnen

Polarform-Rechner

Polarform einer komplexen Zahl

Die Polarform stellt eine komplexe Zahl durch Betrag \(r = |z|\) und Winkel \(\phi = \arg(z)\) dar: \(z = r(\cos\phi + i\sin\phi) = re^{i\phi}\)

Komplexe Zahl z = a + bi (Normalform)
+
i
Berechnungsergebnis (Polarform)
Betrag (Magnitude) r =
Winkel (Argument) φ =

Grafische Darstellung

Polarform als Zeiger

Der Zeiger hat die Länge r und bildet den Winkel φ mit der positiven reellen Achse.

Länge r 2
Winkel φ 45°
Formel r·e^(iφ)
Trigonometrisch r(cos φ + i sin φ)


Formeln zur Polarform komplexer Zahlen

Die Polarform stellt eine komplexe Zahl durch Betrag und Winkel dar, anstatt durch Real- und Imaginärteil. Dies ist besonders nützlich für Multiplikation und Division.

Betrag (Magnitude)
\[r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}\]

Länge des Vektors (Abstand vom Ursprung)

Argument (Winkel)
\[\phi = \arg(z) = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\]

Winkel zur positiven reellen Achse

Darstellungsformen der Polarform

Exponentialform
\[z = r \cdot e^{i\phi}\]

Kompakteste Darstellung mit der Euler-Formel

Trigonometrische Form
\[z = r(\cos\phi + i\sin\phi)\]

Ausführliche Darstellung mit Real- und Imaginärteil

Paar-Notation
\[z = (r, \phi)\]

Eindeutige Festlegung durch Betrag und Winkel

Umrechnung zwischen den Formen
Von Normalform zu Polarform:
\(z = a + bi\)
\(r = \sqrt{a^2+b^2}\)
\(\phi = \arctan(b/a)\) (Quadrant beachten!)
\(z = re^{i\phi}\)
Von Polarform zu Normalform:
\(z = re^{i\phi}\)
\(a = r\cos\phi\) (Realteil)
\(b = r\sin\phi\) (Imaginärteil)
\(z = a + bi\)

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1: z = 3 + 4i

Betrag:

\(r = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\)

Winkel:

\(\phi = \arctan(4/3) \approx 53.13°\)

Polarform: \(5e^{i·53.13°}\) oder \(5(\cos 53.13° + i\sin 53.13°)\)

Beispiel 2: z = 1 + i

Betrag:

\(r = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414\)

Winkel:

\(\phi = \arctan(1/1) = 45°\)

Polarform: \(\sqrt{2}e^{i·45°}\)

Beispiel 3: z = -1 (negative reelle Zahl)

Betrag:

\(r = |-1| = 1\)

Winkel:

\(\phi = 180° = \pi\) rad

Polarform: \(1e^{i\pi}\) (Euler-Identität!)

Beispiel 4: z = 2i (imaginäre Zahl)

Betrag:

\(r = |2i| = 2\)

Winkel:

\(\phi = 90° = \frac{\pi}{2}\) rad

Polarform: \(2e^{i\pi/2}\)

Vorteile der Polarform

Multiplikation (sehr einfach!)

\[z_1 \cdot z_2 = r_1e^{i\phi_1} \cdot r_2e^{i\phi_2} = r_1r_2 \cdot e^{i(\phi_1+\phi_2)}\]

Regel: Beträge multiplizieren, Winkel addieren

Division (sehr einfach!)

\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1e^{i\phi_1}}{r_2e^{i\phi_2}} = \frac{r_1}{r_2} \cdot e^{i(\phi_1-\phi_2)}\]

Regel: Beträge dividieren, Winkel subtrahieren

Potenzieren (sehr einfach!)

\[z^n = (re^{i\phi})^n = r^n \cdot e^{in\phi}\]

Regel: Betrag potenzieren, Winkel mit n multiplizieren

Wurzelziehen (einfach!)

\[\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\phi/n}\]

Regel: n-te Wurzel vom Betrag, Winkel durch n teilen
Achtung: n verschiedene Lösungen!

Vergleich: Normalform vs. Polarform
Normalform besser für:
  • Addition und Subtraktion
  • Direkte Ablesen von Real- und Imaginärteil
  • Einfache Darstellung
Polarform besser für:
  • Multiplikation und Division
  • Potenzieren und Wurzelziehen
  • Geometrische Interpretation (Drehung)

Polarform - Detaillierte Beschreibung

Geometrische Interpretation

Jede komplexe Zahl kann in der Gaußschen Zahlenebene als Vektor dargestellt werden. Dieser Vektor lässt sich auch als Zeiger auffassen.

Zeiger-Darstellung:
• Länge r: Abstand vom Ursprung (Betrag)
• Winkel φ: Drehung gegen den Uhrzeigersinn von der positiven reellen Achse
• Positive Winkel: gegen den Uhrzeigersinn
• Negative Winkel: im Uhrzeigersinn

Berechnung des Winkels

Der Winkel φ wird mit arctan berechnet, aber der Quadrant muss beachtet werden:

Quadranten beachten!
  • Q I (a>0, b>0): φ = arctan(b/a)
  • Q II (a<0, b>0): φ = 180° + arctan(b/a)
  • Q III (a<0, b<0): φ = 180° + arctan(b/a)
  • Q IV (a>0, b<0): φ = arctan(b/a)

Besser: atan2(b, a) verwenden!

Praktische Anwendungen

Die Polarform wird in vielen technischen Bereichen verwendet:

Anwendungsgebiete:
• Elektrotechnik: Wechselstromrechnungen, Impedanz
• Signalverarbeitung: Fourier-Transformation
• Mechanik: Drehbewegungen
• Quantenmechanik: Wellenfunktionen

Euler-Formel

Die Verbindung zwischen Exponential- und trigonometrischer Form:

\[e^{i\phi} = \cos\phi + i\sin\phi\]

Die Euler-Formel ist die Grundlage der Polarform

Spezialfälle

  • Reelle positive Zahlen: φ = 0°
  • Reelle negative Zahlen: φ = 180° = π
  • Imaginäre positive Zahlen: φ = 90° = π/2
  • Imaginäre negative Zahlen: φ = -90° = -π/2
Weitere Beispiele im Tutorium

Ausführliche Schritt-für-Schritt Erklärungen zur Umrechnung zwischen Normalform und Polarform

Zum Tutorium
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