Matrix 3×3 invertieren
Onlinerechner zum Invertieren einer 3x3 Matrix
Matrix Inversions Rechner
Anleitung
Geben Sie die Werte der Matrix ein, die invertiert werden soll. Leere Felder werden als Null gewertet. Klicken Sie dann auf Rechnen.
Matrix Inversion - Übersicht
Was ist eine inverse Matrix?
Die inverse Matrix A-1 ist die Matrix, die multipliziert mit der Originalmatrix A die Einheitsmatrix I ergibt: A · A-1 = I
Cramersche Regel (2×2)
Für eine 2×2 Matrix gibt es eine einfache Formel:
Voraussetzungen
- Die Matrix muss quadratisch sein
- Die Determinante ≠ 0 (nicht singulär)
- Bei det(A) = 0 existiert keine Inverse
Eigenschaften
- (A-1)-1 = A
- (AB)-1 = B-1A-1
- (AT)-1 = (A-1)T
- det(A-1) = 1/det(A)
Singuläre Matrix
Wenn det(A) = 0, ist die Matrix singulär und kann nicht invertiert werden. Dies tritt auf, wenn:
- Eine Zeile ein Vielfaches einer anderen ist
- Die Matrix linear abhängige Zeilen/Spalten hat
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Beschreibung zur Invertierung einer Matrix
Die Cramersche Regel
Eine Matrix kann nicht immer invertiert werden. Es gibt eine schnelle Methode, um eine Inverse für eine 2×2-Matrix zu erhalten. Dies ist ein Spezialfall der Cramerschen Regel, die zur Lösung von Gleichungssystemen verwendet wird.
Formel für 2×2 Matrix:
Die Inverse von \(\displaystyle \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) ist
\(\displaystyle \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}\)
Drei Schritte zur Inversion
- Tausche die diagonalen Elemente aus (a und d vertauschen)
- Ändere das Vorzeichen der anderen Elemente (b und c negieren)
- Teile jedes Element durch (ad - bc)
Eine Matrix kann nicht immer invertiert werden
Angenommen in der Formel wäre ad = bc. Dann ergibt ad - bc = 0, und man würde versuchen, durch Null zu teilen. Also gibt es folglich keine Umkehrung. In diesem Fall nennt man die ursprüngliche Matrix A eine singuläre Matrix.
Singuläre Matrix
Eine andere Möglichkeit, ad = bc zu erhalten, ist wenn die zweite Zeile der Matrix ein Vielfaches der ersten ist.
Wenn die Matrix eine Inverse hat, sagt man, dass die Matrix nicht singulär ist.
Die Determinante
Ohne die Inverse Matrix tatsächlich zu berechnen, kann man entscheiden, ob eine Inverse existiert, indem man einfach eine einzelne Zahl berechnet: den Nenner in der Formel. Dieser Nenner wird Determinante der Matrix genannt.
Regel:
- det(A) = 0 → Singuläre Matrix (nicht invertierbar)
- det(A) ≠ 0 → Reguläre Matrix (invertierbar)
Die Cramersche Regel existiert auch für größere Matrizen, ist aber rechnerisch sehr ineffizient. Daher ist es hilfreich, besonders für große Matrizen, wenn man vor dem Start feststellen kann, ob das Inverse existiert. Das kann man, indem man die Determinante berechnet.
Praktische Anwendungen
Mathematik:
- Lösung linearer Gleichungssysteme
- Koordinatentransformationen
- Berechnung von Eigenvektoren
Physik & Technik:
- Computergrafik (Transformationen rückgängig machen)
- Kryptographie
- Signalverarbeitung