Matrix Multiplikation 3×3
Onlinerechner zum Multiplizieren von 3x3 Matrizen
Matrix Multiplikations Rechner
Anleitung
Geben Sie die Werte beider Matrizen ein, die multipliziert werden sollen. Leere Felder werden als Null gewertet. Klicken Sie dann auf Rechnen.
Matrix Multiplikation - Übersicht
Grundregel
Zwei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt.
Multiplikation
Das Produkt wird berechnet durch die Produktsummen der Paare aus:
- Zeilenvektoren der ersten Matrix
- Spaltenvektoren der zweiten Matrix
Wichtig
- Nicht kommutativ: A·B ≠ B·A
- Assoziativ: (A·B)·C = A·(B·C)
- Distributiv: A·(B+C) = A·B + A·C
Beschreibung zur Matrizenmultiplikation
Multiplikationsregel
Es gibt eine spezielle Regel für Multiplikationen von Matrizen, die so konstruiert sind, dass sie simultane Gleichungen mithilfe von Matrizen darstellen können.
Grundregeln:
- Zwei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt.
- Das Produkt wird berechnet, indem die Produktsummen der Paare aus den Zeilenvektoren der ersten Matrix und den Spaltenvektoren der zweiten Matrix berechnet werden.
Berechnung eines Elements
Das erste Element des Produkts C ist die Summe der Produkte jedes Elements der ersten Reihe von A und dem entsprechenden Element der ersten Spalte von B:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \end{bmatrix} · \begin{bmatrix}10 \\ 20 \\ 30 \end{bmatrix} = 1 · 10 + 2·20+3·30=140\)
Detailliertes Beispiel
Schritt 1: Matrix Definition
\(\displaystyle A·B=C=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix} · \begin{bmatrix}10 & 11 & 12 \\ 20 & 21 & 22 \\ 30 & 31 & 32\end{bmatrix} \)
Schritt 2: Berechnung
\(\displaystyle = \begin{bmatrix}1·10+2·20+3·30 & 1·11+2·21+3·31 & 1·12+2·22+3·32 \\4·10+5·20+6·30 & 4·11+5·21+6·31 & 4·12+5·22+6·32 \end{bmatrix} \)
Schritt 3: Ergebnis
\(\displaystyle = \begin{bmatrix}140 & 146 & 152 \\ 320 & 335 & 350 \end{bmatrix} \)
Eigenschaften
- Nicht kommutativ: A·B ≠ B·A (Reihenfolge wichtig!)
- Assoziativgesetz: (A·B)·C = A·(B·C)
- Distributivgesetz: A·(B+C) = A·B + A·C
- Einheitsmatrix: A·I = I·A = A
- Nullmatrix: A·0 = 0·A = 0
Praktische Anwendungen
Mathematik & Physik:
- Lösung linearer Gleichungssysteme
- Koordinatentransformationen
- Rotation und Skalierung
Informatik & Technik:
- Computergrafik (3D-Transformationen)
- Neuronale Netzwerke
- Bildverarbeitung