Division komplexer Zahlen
Onlinerechner zur Division komplexer Zahlen mit Schritt-für-Schritt Erklärung
Divisions-Rechner
Division komplexer Zahlen
Die Division komplexer Zahlen erfolgt durch Erweiterung mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners, wodurch der Nenner reell wird.
Division - Eigenschaften
Grundprinzip
Die Division wird durch Erweitern mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners durchgeführt. Dadurch wird der Nenner reell.
Formel
Nenner wird reell
Ergebnis
Wichtige Hinweise
- Der Divisor darf nicht 0 + 0i sein
- Erweitern mit konjugierter komplexer Zahl
- Nenner wird immer reell (c² + d²)
- In Polarform: Division der Beträge, Subtraktion der Winkel
Rechenregeln
- \(\frac{z_1}{z_2} \cdot z_2 = z_1\) (Umkehrung der Multiplikation)
- \(\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}\) (Betrag des Quotienten)
- \(\arg\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)\) (Winkel)
- \(\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}\) (Kehrwert)
Beschreibung zur Division komplexer Zahlen
Die Division komplexer Zahlen erfolgt durch einen eleganten Trick: Erweitern des Bruchs mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners.
Problemstellung
Gegeben: \(\frac{3+i}{1-2i}\)
Problem: Komplexe Zahl im Nenner
Lösung
Erweitern mit \(\overline{1-2i} = 1+2i\)
Nenner wird reell: \((1-2i)(1+2i) = 5\)
Schritt-für-Schritt Beispiel
Berechnung: \(\frac{3+i}{1-2i}\)
Schritt 1: Konjugierte bestimmen
Nenner: \(1 - 2i\)
Konjugierte: \(\overline{1-2i} = 1 + 2i\)
Schritt 2: Erweitern
Schritt 3: Nenner berechnen
\((1-2i)(1+2i) = 1^2 - (2i)^2\)
\(= 1 - 4i^2 = 1 - 4(-1)\)
\(= 1 + 4 = 5\)
Schritt 4: Zähler berechnen
\((3+i)(1+2i)\)
\(= 3 + 6i + i + 2i^2\)
\(= 3 + 7i + 2(-1)\)
\(= 1 + 7i\)
Schritt 5: Ergebnis
\[\frac{1+7i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{7}{5}i\]
Dezimal: \(0.2 + 1.4i\)
Verifikation
Probe: \((0.2 + 1.4i) \cdot (1 - 2i)\)
\(= 0.2 - 0.4i + 1.4i - 2.8i^2\)
\(= 0.2 + 1.0i + 2.8 = 3 + i\) ✓
Alternative Berechnungsmethoden
Methode 1: Normalform (kartesische Form)
\[\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\]
Vorteil: Direktes Rechnen mit Real- und Imaginärteilen
Methode 2: Polarform (einfacher!)
\[\frac{r_1 e^{i\phi_1}}{r_2 e^{i\phi_2}} = \frac{r_1}{r_2} e^{i(\phi_1-\phi_2)}\]
Vorteil: Einfache Division der Beträge, Subtraktion der Winkel
Vergleich: Beispiel \(\frac{3+i}{1-2i}\)
Erweitern mit (1+2i)
Nenner: 1² + 2² = 5
Zähler ausmultiplizieren
Ergebnis: \(\frac{1}{5} + \frac{7}{5}i\)
\(|3+i| = \sqrt{10}\), \(\phi_1 = \arctan(1/3)\)
\(|1-2i| = \sqrt{5}\), \(\phi_2 = \arctan(-2)\)
\(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}} = \sqrt{2}\), \(\phi = \phi_1 - \phi_2\)
Zurück in Normalform
Division komplexer Zahlen - Detaillierte Beschreibung
Die konjugiert komplexe Zahl
Die konjugiert komplexe Zahl \(\overline{z}\) entsteht durch Vorzeichenwechsel des Imaginärteils.
• Wenn \(z = a + bi\), dann \(\overline{z} = a - bi\)
• Geometrisch: Spiegelung an der reellen Achse
• Wichtige Eigenschaft: \(z \cdot \overline{z} = |z|^2\)
• Für Division: \((c+di)(c-di) = c^2 + d^2\) (reell!)
Permanenzprinzip
Nach dem Permanenzprinzip sollen die Rechenregeln der reellen Zahlen auch für komplexe Zahlen gelten. Daher nutzen wir das Erweitern von Brüchen.
Warum funktioniert das?
Beim Erweitern mit \(\frac{\overline{z_2}}{\overline{z_2}}\) multiplizieren wir eigentlich mit 1, ändern also den Wert nicht. Der Nenner wird aber reell!
Praktische Anwendungen
Die Division komplexer Zahlen findet in vielen technischen Bereichen Anwendung:
• Elektrotechnik: Impedanz-Berechnungen (Z = U/I)
• Regelungstechnik: Übertragungsfunktionen
• Signalverarbeitung: Filter-Design
• Physik: Wellen- und Schwingungslehre
Häufige Fehler
Vorsicht!
- Falsch: Zähler und Nenner getrennt kürzen
- Richtig: Mit konjugierter Zahl erweitern
- Falsch: \(i^2\) vergessen oder falsch als +1 berechnen
- Richtig: \(i^2 = -1\) konsequent anwenden
- Achtung: Division durch 0 + 0i nicht definiert!
Spezialfälle
- Division durch reelle Zahl: \(\frac{a+bi}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}i\)
- Division durch imaginäre Zahl: \(\frac{a+bi}{di} = \frac{b}{d} - \frac{a}{d}i\)
- Kehrwert: \(\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}\)
- Division durch sich selbst: \(\frac{z}{z} = 1\) für \(z \neq 0\)
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Weitere Komplexe Funktionen
Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye