Konjugierte einer komplexen Zahl

Berechnung der konjugiert komplexen Zahl durch Vorzeichenwechsel des Imaginärteils

Konjugierte Rechner

Konjugiert komplexe Zahl

Die konjugiert komplexe Zahl \(\overline{z}\) entsteht durch Vorzeichenwechsel des Imaginärteils. Geometrisch entspricht dies einer Spiegelung an der reellen Achse.

Komplexe Zahl z = a + bi
+
i
Berechnungsergebnis
\(\overline{z}\) =

Konjugierte - Eigenschaften

Definition
\[\text{Wenn } z = a + bi \text{, dann } \overline{z} = a - bi\]

Nur das Vorzeichen des Imaginärteils ändert sich!

Operation

Vorzeichenwechsel

Nur Imaginärteil
Geometrie

Spiegelung

An reeller Achse
Produkt
\[z \cdot \overline{z} = |z|^2\]

Das Produkt ist immer reell!

Wichtige Eigenschaften
  • \(\overline{\overline{z}} = z\) (Doppelte Konjugation)
  • \(z + \overline{z} = 2\text{Re}(z)\) (Realteil)
  • \(z - \overline{z} = 2i\text{Im}(z)\) (Imaginärteil)
  • \(|z| = |\overline{z}|\) (Gleicher Betrag)
Rechenregeln
  • \(\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}\)
  • \(\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}\)
  • \(\overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} / \overline{z_2}\)
  • \(\overline{z^n} = (\overline{z})^n\)

Definition der konjugiert komplexen Zahl

Jede komplexe Zahl besitzt eine konjugiert komplexe Zahl, die durch Vorzeichenwechsel des Imaginärteils entsteht. Sie wird mit \(\overline{z}\) notiert.

Notation

Für \(z = a + bi\):
\[\overline{z} = a - bi\] Alternative Notationen: \(z^*\), \(\text{conj}(z)\)

Geometrische Bedeutung

Spiegelung an der reellen Achse:
Realteil bleibt gleich
Imaginärteil wechselt Vorzeichen

Beispiele und Berechnungen

Beispiel 1: Einfache Konjugation

Gegeben: \(z = 5 + 3i\)

Konjugierte: \(\overline{z} = 5 - 3i\)

Realteil 5 bleibt, Imaginärteil wechselt von +3 zu -3

Beispiel 2: Negativer Imaginärteil

Gegeben: \(z = 3 - 4i\)

Konjugierte: \(\overline{z} = 3 + 4i\)

Aus -4i wird +4i

Beispiel 3: Rein reelle Zahl

Gegeben: \(z = 7 + 0i\)

Konjugierte: \(\overline{z} = 7 - 0i = 7\)

Reelle Zahlen sind selbstkonjugiert

Beispiel 4: Rein imaginäre Zahl

Gegeben: \(z = 0 + 6i\)

Konjugierte: \(\overline{z} = 0 - 6i = -6i\)

Vorzeichen kehrt sich um

Beispiel 5: Produkt z·z̄

Für z = 5 + 3i:

\(z \cdot \overline{z} = (5+3i)(5-3i)\)

\(= 25 - 15i + 15i - 9i^2\)

\(= 25 - 9(-1) = 25 + 9 = 34\)

Ergebnis: reelle Zahl!

Verifikation

Alternativ: \(|z|^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34\) ✓
Die Formel \(z \cdot \overline{z} = |z|^2\) gilt immer!

Anwendungen der konjugiert komplexen Zahl

1. Division komplexer Zahlen
Anwendung:
\[\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{z_2 \cdot \overline{z_2}} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2}\]

Durch Erweitern mit \(\overline{z_2}\) wird der Nenner reell!

2. Betragsberechnung
Formel:
\[|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}\]

Alternative zur Formel \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)

3. Extraktion von Real- und Imaginärteil
Formeln:
\[\text{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2}\] \[\text{Im}(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i}\]
4. Quadratische Gleichungen
Eigenschaft:
Wenn \(z\) eine Lösung ist, dann ist \(\overline{z}\) auch eine Lösung bei reellen Koeffizienten.

Komplexe Lösungen treten immer paarweise auf!

5. Elektrische Impedanz
Physik:
Bei komplexer Impedanz \(Z\) entspricht die konjugierte \(\overline{Z}\) der Impedanz für negative Frequenzen.

Wichtig für Leistungsberechnungen: \(P = U \cdot \overline{I}\)

6. Signalverarbeitung
Fourier-Transformation:
Das Spektrum reeller Signale ist hermitesch:
\(F(-\omega) = \overline{F(\omega)}\)

Konjugiert komplexe Zahlen - Detaillierte Beschreibung

Geometrische Interpretation

In der Gaußschen Zahlenebene entspricht die Konjugation einer Spiegelung an der reellen Achse.

Visualisierung:
• Punkt \(z = a + bi\) liegt oberhalb der reellen Achse (wenn b > 0)
• Punkt \(\overline{z} = a - bi\) liegt symmetrisch darunter
• Beide Punkte haben denselben Abstand vom Ursprung
• Die reelle Achse ist die Symmetrieachse

Wichtige Eigenschaft

Das Produkt einer Zahl mit ihrer Konjugierten ist immer reell und positiv (oder Null):

\[z \cdot \overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2 = |z|^2\]

Dies ist das Quadrat des Betrags!

Rechenregeln mit Konjugation

Die Konjugation ist mit den Grundrechenarten verträglich:

Linearität und Multiplikativität:
• \(\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}\) (Addition)
• \(\overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2}\) (Subtraktion)
• \(\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}\) (Multiplikation)
• \(\overline{z_1 / z_2} = \overline{z_1} / \overline{z_2}\) (Division)

Involutorische Eigenschaft

Die Konjugation ist involutorisch, d.h. zweimalige Anwendung führt zur ursprünglichen Zahl zurück:

\[\overline{\overline{z}} = z\]

Zweimalige Spiegelung = Identität

Spezialfälle

  • Reelle Zahlen: \(\overline{a} = a\) (selbstkonjugiert)
  • Imaginäre Zahlen: \(\overline{bi} = -bi\) (Vorzeichenwechsel)
  • Null: \(\overline{0} = 0\)
  • Imaginäre Einheit: \(\overline{i} = -i\)

Weitere Komplexe Funktionen

Betrag / Absolutwert • Division • Exponent • Konjugierte • Logarithmus zur Basis 10 • Multiplikation • Natürlicher Logarithmus • Polarform • Quadratwurzel • Wurzel • Potenz • Reziprok • Winkel •
Cosh • Sinh • Tanh •
Acos • Asin • Atan • Cos • Sin • Tan •
Airy Funktion • Abgeleitete Airy Funktion •
Bessel-I • Bessel-Ie • Bessel-J • Bessel-Je • Bessel-K • Bessel-Ke • Bessel-Y • Bessel-Ye