Kugelförmige geometrische Körper

Umfassende Sammlung von Rechnern für sphärische und gekrümmte 3D-Formen

Grundformen der Kugel

Sphere
Kugel (V = ⁴⁄₃πr³)
Perfekte dreidimensionale Rundform - alle Punkte gleichweit vom Mittelpunkt
Spherical Shell
Kugelschale Hohlkugel
Hohlkugel zwischen zwei konzentrischen Kugelflächen

Kugelabschnitte und Sektoren

Spherical Cap
Kugelsegment Kugelkappe
Kugelabschnitt zwischen einer Ebene und der Kugeloberfläche
Spherical Sector
Kugelsektor
Kugelabschnitt mit kegelförmiger Erweiterung zum Mittelpunkt
Spherical Zone
Kugelschicht
Kugelabschnitt zwischen zwei parallelen Ebenen
Spherical Wedge
Kugelkeil
Kugelabschnitt zwischen zwei Halbebenen durch den Mittelpunkt
Spherical Corner
Kugelecke
Kugelabschnitt in einer Ecke - Schnitt mehrerer Ebenen
Spherical Ring
Kugelring
Ringförmige Kugelzone um eine Achse

Ellipsoide

Rotation Ellipsoid
Rotations-Ellipsoid (a = b ≠ c)
Ellipsoid durch Rotation einer Ellipse um eine Achse
Triaxial Ellipsoid
Triaxiales Ellipsoid (a ≠ b ≠ c)
Allgemeines Ellipsoid mit drei verschiedenen Hauptachsen
Ellipsoid Volume
Ellipsoid Volumen
Spezialisierte Volumenberechnung für verschiedene Ellipsoidtypen

Torus und komplexe Formen

Torus
Torus (V = 2π²R²r)
Donutförmiger Rotationskörper - Kreis um eine Achse rotiert
Spindle Torus
Spindeltorus R < r
Selbstdurchdringender Torus - kleine Hauptachse
Elliptic Paraboloid
Elliptisches Paraboloid
Sattelförmige Quadrik - elliptische Querschnitte
Oloid
Oloid Spezial
Geometrischer Körper mit konstanter Breite - entwickelbare Oberfläche

Raumwinkel und Messungen

Steradian
Raumwinkel in Steradiant Ω = A/r²
Messung dreidimensionaler Winkel - SI-Einheit für Raumwinkel

Über kugelförmige Körper

Kugelförmige und gekrümmte Körper bilden eine fundamentale Kategorie in der 3D-Geometrie mit vielfältigen Anwendungen:

  • Astronomie - Planeten, Sterne, Monde
  • Technik - Kugellager, Tanks, Druckbehälter
  • Biologie - Zellen, Moleküle, Organe
  • Architektur - Kuppeln, Gewölbe
  • Physik - Teilchen, Felder
  • Optik - Linsen, Spiegel
Fundamentale Kugelformeln
Kugel
Volumen: V = ⁴⁄₃πr³
Oberfläche: A = 4πr²
Kugelsegment
Volumen: V = πh²(3r - h)/3
Mantelfläche: A = 2πrh
Ellipsoid
Volumen: V = ⁴⁄₃πabc
Drei Halbachsen: a, b, c
Torus
Volumen: V = 2π²R²r
Oberfläche: A = 4π²Rr
Isoperimetrisches Problem: Von allen Körpern mit gleicher Oberfläche hat die Kugel das größte Volumen - ein fundamentales Prinzip in Natur und Technik.

Praktische Anwendungen

Technik & Industrie
  • Druckbehälter: Optimale Kugelform für Innendruck
  • Kugellager: Minimale Reibung durch Kugelform
  • Tanks: Maximales Volumen bei minimaler Oberfläche
Wissenschaft & Forschung
  • Astronomie: Planetenformen und Orbits
  • Molekularphysik: Atommodelle und Orbitale
  • Geodäsie: Erdvermessung mit Ellipsoiden
Architektur & Bau
  • Kuppelbauten: Optimale Lastverteilung
  • Gewölbe: Statische Vorteile gekrümmter Formen
  • Planetarien: Kugelprojektionen
Natur & Biologie
  • Zellstrukturen: Kugelförmige Organellen
  • Seifenblasen: Minimale Oberflächenenergie
  • Früchte: Natürliche Kugelformen
Schnellreferenz
⁴⁄₃πr³
Kugelvolumen
4πr²
Oberfläche
⁴⁄₃πabc
Ellipsoid
2π²R²r
Torus
π ≈ 3.14159
Kreiszahl Pi
Historisches

Archimedes (287-212 v.Chr.): Berechnete als erster das Kugelvolumen und bewies die 2/3-Beziehung zum umschreibenden Zylinder.

Apollonios (ca. 200 v.Chr.): Untersuchte Kegelschnitte und legte Grundlagen für Ellipsoidgeometrie.

Moderne Anwendung: GPS-Systeme nutzen Erdellipsoide für präzise Positionsbestimmung.

Eigenschaften
📐 Perfekte Symmetrie: Kugel in alle Richtungen gleich
🔄 Rotationskörper: Durch Rotation von Kurven entstanden
⚖️ Optimierung: Minimale Oberfläche für gegebenes Volumen
🌐 Raumwinkel: 4π Steradiant für Vollkugel
⚡ Physikalisch: Kugel rollt am effizientesten