Linsengleichung berechnen

Online-Rechner und Formeln zur Berechnung von Brennweite, Gegenstandsweite und Bildweite

Linsengleichung Rechner

Abbildungsgesetz

Berechnet die fehlende Größe der optischen Abbildung: Brennweite (f), Gegenstandsweite (g) oder Bildweite (b).

cm
Abstand zwischen Linse und Bild
cm
Abstand zwischen Linse und Gegenstand
cm
Entfernung des Brennpunktes von der Linse
Resultat

Beispielrechnungen

Beispiel 1: Bildweite berechnen
Aufgabe:

Ein Objekt steht 30 cm vor einer Sammellinse mit Brennweite 10 cm. Wie weit ist das Bild von der Linse entfernt?

Gegeben:
  • Gegenstandsweite: g = 30 cm
  • Brennweite: f = 10 cm
  • Gesucht: Bildweite b
Lösung:

Linsengleichung:

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}\]
\[\frac{1}{b} = \frac{1}{f} - \frac{1}{g}\]
\[\frac{1}{b} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = 0{,}1 - 0{,}0333 = 0{,}0667\]
\[b = \frac{1}{0{,}0667} ≈ 15 \text{ cm}\]
Beispiel 2: Gegenstandsweite berechnen
Aufgabe:

Eine Linse mit Brennweite 8 cm erzeugt ein Bild im Abstand von 24 cm. Wie weit war der Gegenstand entfernt?

Gegeben:
  • Brennweite: f = 8 cm
  • Bildweite: b = 24 cm
  • Gesucht: Gegenstandsweite g
Lösung:
\[\frac{1}{g} = \frac{1}{f} - \frac{1}{b}\]
\[\frac{1}{g} = \frac{1}{8} - \frac{1}{24} = 0{,}125 - 0{,}0417 = 0{,}0833\]
\[g = \frac{1}{0{,}0833} ≈ 12 \text{ cm}\]


Formeln der Linsengleichung

Die Linsengleichung (auch Abbildungsgesetz genannt) beschreibt die Beziehung zwischen Brennweite, Gegenstandsweite und Bildweite einer optischen Linse. Sie ist eine der fundamentalsten Gleichungen der geometrischen Optik.

Linsengleichung (Abbildungsgesetz)

Die fundamentale Gleichung für optische Abbildung.

\[\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}\]
f = Brennweite [cm]
g = Gegenstandsweite [cm]
b = Bildweite [cm]
Abbildungsmaßstab

Größenverhältnis von Bild zu Gegenstand.

\[m = \frac{b}{g} = -\frac{B}{G}\]
m = Abbildungsmaßstab (negativ: Bild umgekehrt)
B = Bildgröße, G = Gegenstandsgröße
Bildweite berechnen

Umstellung nach der Bildweite.

\[b = \frac{1}{\frac{1}{f} - \frac{1}{g}} = \frac{f \cdot g}{g - f}\]
Gültig wenn g > f (reelles Bild)
Gegenstandsweite berechnen

Umstellung nach der Gegenstandsweite.

\[g = \frac{1}{\frac{1}{f} - \frac{1}{b}} = \frac{f \cdot b}{b - f}\]
Rückwärtsberechnung aus f und b
Brennweite berechnen

Umstellung nach der Brennweite.

\[f = \frac{1}{\frac{1}{g} + \frac{1}{b}} = \frac{g \cdot b}{g + b}\]
Berechnung der Linseneigenschaften aus Gegenstandsweite und Bildweite
Wichtige Regeln
  • Sammellinse (Konvexlinse): f > 0. Erzeugt reelle, umgekehrte Bilder wenn g > f.
  • Zerstreuungslinse (Konkavlinse): f < 0. Erzeugt nur virtuelle, aufrechte, verkleinerte Bilder.
  • Brennpunkt: Bei g = f wird b = ∞ (Bild im Unendlichen).
  • 2f-Punkt: Bei g = 2f ist b = 2f (Bild gleich groß wie Gegenstand).
  • Virtuelle Bilder: Treten auf wenn g < f (Lupe-Effekt).

Detaillierte Beschreibung der Linsengleichung

Physikalische Grundlagen

Die Linsengleichung beschreibt, wie eine Linse einen Gegenstand abbildet. Sie ist das zentrale Werkzeug der geometrischen Optik und wird in zahlreichen Anwendungen verwendet.

Brennweite (f): Der Abstand vom Linsenzentrum zum Brennpunkt, in dem parallel einfallende Strahlen fokussiert werden. Sammellinsen haben positive, Zerstreuungslinsen negative Brennweiten.

Gegenstandsweite (g): Der Abstand zwischen dem Gegenstand und der Linsenmitte.

Bildweite (b): Der Abstand zwischen dem erzeugten Bild und der Linsenmitte.

Bedienungshinweise

Wählen Sie mit den Radiobuttons, welche Größe berechnet werden soll. Geben Sie die zwei bekannten Werte ein und klicken Sie "Rechnen". Alle Werte sind in Zentimetern.

Anwendungsbereiche

Fotografie und Kamera

Berechnung von Brennweiten, Fokussierter Entfernung und Bildgröße. Linsendesign für verschiedene Brennweiten.

Mikroskopie und Teleskope

Design von Linsensystemen, Berechnung von Vergrößerungen und Feldtiefe für Beobachtungsinstrumente.

Projektoren und Displays

Berechnung der Projektionsentfernung, Linsengröße und Bildgröße für optische Systeme.

Medizinische Geräte

Endoskope, Operationsmikroskope, Laseraugen-Chirurgie und andere optische Diagnose- und Behandlungssysteme.

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