Onlinerechner zum Invertieren einer 3x3 Matrix
Geben Sie die Werte der Matrix ein, die invertiert werden sollen. Dann klicken Sie auf den Button 'Rechnen'.
Leere Felder werden als Null gewertet.
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Eine Matrix kann nicht immer invertiert werden. In dem folgenden Artikel wird das an einer 2 x 2 Matrix beschrieben.
Es gibt eine schnelle Methode, um eine Inverse für eine 2 x 2-Matrix zu erhalten. Dies ist ein Spezialfall der Cramerschen Regel, die zur Lösung von Gleichungssystemen verwendet wird.
Die Inverse von \(\displaystyle \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) ist \(\displaystyle \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}\)
Es gibt drei Schritte zum Invertieren einer 2x2-Matrix:
Tausche die diagonalen Elemente aus
Ändern Sie das Vorzeichen der anderen Elemente
Teilen Sie jedes Element nach \(ad-bc\)
Angenommen oben in der Formel währe \(ad = bc\). Dann ergibt \(ad - bc\) = 0, und man würde versuchen, durch Null zu teilen. Also gibt es folglich keine Umkehrung. In diesem Fall nennt man die ursprüngliche Matrix A eine singuläre Matrix. Wenn die Matrix eine Inverse hat, sagt man, dass die Matrix nicht singulär ist.
Eine andere Möglichkeit, \(ad = bc\) zu erhalten ist, wenn die zweite Zeile der Matrix ein Vielfaches der ersten ist.
Ohne die Inverse Matrix tatsächlich zu berechnen, kann man entscheiden, ob eine Inverse existiert, indem man einfach eine einzelne Zahl berechnen, den Nenner in der Formel. Dieser Nenner wird Determinante genannt.
Wenn die Determinante gleich Null ist, handelt es sich um eine singuläre Matrix, die also nicht invertiert werden kann.
Die Cramers-Regel existiert auch für größere Matrizen, ist aber rechnerisch sehr ineffizient. Daher ist es hilfreich besonders für große Matrizen, wenn man vor dem Start feststellen kann, ob das Inverse existiert. Das kann man, indem man auch für große Matrizen die Determinante der Matrix definiert
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