Matrix 4×4 Interpolation
Onlinerechner zum Interpolieren von 4x4 Matrizen (Lineare Interpolation / LERP)
Matrix Interpolations Rechner
Anleitung
Geben Sie die Werte beider 4×4 Matrizen und den Gewichtungsfaktor (0-1) ein. Leere Felder werden als Null gewertet. Klicken Sie auf Rechnen.
Matrix Interpolation - Übersicht
Was ist LERP?
LERP (Linear Interpolation) berechnet eine Matrix zwischen zwei gegebenen Matrizen basierend auf einem Gewichtungsfaktor t (0 bis 1).
Interpolationsformel
Die lineare Interpolation wird für jedes Element berechnet:
\(\text{LERP}(A, B, t) = A + t(B - A) = (1-t)A + tB\)
Gewichtungsfaktor (t)
- t = 0: Ergebnis ist identisch mit Matrix A
- t = 0.5: Ergebnis liegt genau in der Mitte
- t = 1: Ergebnis ist identisch mit Matrix B
- t < 0 oder t > 1: Extrapolation außerhalb
Eigenschaften
- Element-weise: Jedes Matrix-Element wird einzeln interpoliert
- Linear: Gleichmäßiger Übergang zwischen Matrizen
- Symmetrisch: LERP(A,B,t) = LERP(B,A,1-t)
- Animationen: Ideal für sanfte Übergänge
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Beschreibung zur Matrix Interpolation
Lineare Interpolation
Es wird eine lineare Interpolation durchgeführt von einer Matrix zu einer zweiten Matrix basierend auf einem Wert, der die Gewichtung der zweiten Matrix angibt.
LERP-Formel:
\(\text{Result} = (1-t) \cdot A + t \cdot B\)
Wobei t der Gewichtungsfaktor ist (typisch 0 bis 1).
Gewichtungswerte
- t = 0: Interpolierte Matrix = Matrix A
- t = 0.25: 75% A, 25% B
- t = 0.5: 50% A, 50% B (Mittelwert)
- t = 0.75: 25% A, 75% B
- t = 1: Interpolierte Matrix = Matrix B
Extrapolation
Werte außerhalb [0,1]
Bei Werten < 0 oder > 1 liegt die interpolierte Matrix außerhalb des Bereichs zwischen A und B:
- t < 0: Extrapolation vor Matrix A
- t > 1: Extrapolation nach Matrix B
- Beispiel t = 2: Doppelter Abstand von A zu B
- Beispiel t = -0.5: Halber Abstand vor A
Element-weise Berechnung
Für jedes Element (i,j):
\(R_{ij} = (1-t) \cdot A_{ij} + t \cdot B_{ij}\)
Alternative Schreibweise
\(\text{LERP}(A, B, t) = A + t(B - A)\)
Dies ist mathematisch äquivalent und manchmal effizienter zu berechnen.
Praktische Anwendungen
Computer-Grafik & Animation:
- Morphing zwischen 3D-Modellen
- Sanfte Kamera-Übergänge
- Skelett-Animation (Bone Interpolation)
- Transformations-Blending
Robotik & Simulation:
- Pfadplanung (Trajectory Planning)
- Sanfte Bewegungsübergänge
- Pose-Interpolation
- Physik-Simulationen
Mathematische Eigenschaften
- Linear: Gleichmäßiger Übergang
- Symmetrisch: LERP(A,B,t) = LERP(B,A,1-t)
- Kommutativ: Reihenfolge von A und B kann getauscht werden
- Assoziativ: Mehrfache Interpolationen kombinierbar
- Identität: LERP(A,A,t) = A für alle t
- Skalierbar: Funktioniert für beliebige Matrix-Größen
Beispielrechnung
Gegeben:
Matrix A (Start):
| 10 20 30 |
| 40 50 60 |
| 70 80 90 |
Matrix B (Ziel):
| 9 8 7 |
| 6 5 4 |
| 3 2 1 |
t = 0.5 (Mittelwert):
Jedes Element wird interpoliert: z.B. für [0,0]: (1-0.5)×10 + 0.5×9 = 9.5
Performance-Hinweis
Matrix-Interpolation ist eine O(n²) Operation für n×n Matrizen. Für 4×4 Matrizen bedeutet dies 16 einzelne Interpolationen. In Echtzeit-Anwendungen (z.B. Spielen) wird dies oft hardwarebeschleunigt auf der GPU durchgeführt.