Matrix Subtraktion 4×4
Onlinerechner zum Subtrahieren von 4x4 Matrizen
Matrix Subtraktions Rechner 4×4
Anleitung
Geben Sie die Werte beider Matrizen ein, die subtrahiert werden sollen. Leere Felder werden als Null gewertet. Klicken Sie auf Rechnen.
Matrix Subtraktion - Übersicht
Voraussetzungen
Zur Matrizen-Subtraktion müssen die Matrizen übereinstimmen. Das heißt, sie müssen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten haben (hier 4×4).
Berechnungsformel
Bei einer Matrizensubtraktion werden die einzelnen Elemente der Matrizen voneinander subtrahiert:
\(\displaystyle\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14}\\b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24}\\b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34}\\b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44}\end{bmatrix} = \)
\(\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13} & a_{14}-b_{14}\\a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & a_{23}-b_{23} & a_{24}-b_{24}\\a_{31}-b_{31} & a_{32}-b_{32} & a_{33}-b_{33} & a_{34}-b_{34}\\a_{41}-b_{41} & a_{42}-b_{42} & a_{43}-b_{43} & a_{44}-b_{44}\end{bmatrix} \)
Beispiel (3×3)
Gegeben:
\(\displaystyle\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1 & 4 & 7\\2 & 5 & 8\\3 & 6 & 9\end{bmatrix} \)
Ergebnis:
\( = \begin{bmatrix}0 & -2 & -4\\2 & 0 & -2\\4 & 2 & 0\end{bmatrix} \)
Eigenschaften
- Nicht kommutativ: A − B ≠ B − A
- Assoziativ: (A − B) − C = A − (B + C)
- Null-Element: A − 0 = A
- Inverse: A − A = 0 (Nullmatrix)
- Addition: A − B = A + (−B)
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Beschreibung zur Matrizen Subtraktion
Grundlagen
Zur Matrizen-Subtraktion müssen die Matrizen übereinstimmen. Das heißt, sie müssen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten haben. Bei einer Matrizensubtraktion werden die Matrizenelemente der zweiten Matrix von den entsprechenden Elementen der ersten Matrix subtrahiert.
Allgemeine 4×4 Formel:
\(\displaystyle\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14}\\b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24}\\b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34}\\b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44}\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}a_{11}-b_{11} & a_{12}-b_{12} & a_{13}-b_{13} & a_{14}-b_{14}\\a_{21}-b_{21} & a_{22}-b_{22} & a_{23}-b_{23} & a_{24}-b_{24}\\a_{31}-b_{31} & a_{32}-b_{32} & a_{33}-b_{33} & a_{34}-b_{34}\\a_{41}-b_{41} & a_{42}-b_{42} & a_{43}-b_{43} & a_{44}-b_{44}\end{bmatrix} \)
Rechenregeln
- Element-weise: Jedes Element wird einzeln subtrahiert
- Gleiche Dimension: Beide Matrizen müssen 4×4 sein
- Nicht kommutativ: A − B ≠ B − A (Reihenfolge wichtig!)
- Nullmatrix: A − A ergibt die Nullmatrix
Beispiel (3×3)
Schritt-für-Schritt Berechnung
Aufgabe:
\(\displaystyle\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}1 & 4 & 7\\2 & 5 & 8\\3 & 6 & 9\end{bmatrix} \)
Schritt 1: Element-weise subtrahieren
\( = \begin{bmatrix}1-1 & 2-4 & 3-7\\4-2 & 5-5 & 6-8\\7-3 & 8-6 & 9-9\end{bmatrix} \)
Schritt 2: Ergebnis
\( = \begin{bmatrix}0 & -2 & -4\\2 & 0 & -2\\4 & 2 & 0\end{bmatrix} \)
Eigenschaften
- Nicht kommutativ: A − B ≠ B − A
- Assoziativ (mit Addition): (A − B) − C = A − (B + C)
- Distributiv: k(A − B) = kA − kB
- Null-Element: A − 0 = A
- Selbst-Subtraktion: A − A = 0
- Addition der Inversen: A − B = A + (−B)
Praktische Anwendungen
Mathematik & Physik:
- Differenzrechnung von Systemen
- Fehlerberechnung zwischen Messwerten
- Änderungen in Zustandsmatrizen
- Transformation-Differenzen in 3D
Informatik & Technik:
- Bildverarbeitung (Differenzbilder)
- Machine Learning (Gradient Descent)
- Computer-Grafik (Transformations-Differenzen)
- Numerische Simulation (Delta-Berechnungen)
Wichtiger Hinweis
Die Matrizensubtraktion ist NICHT kommutativ! Das bedeutet: A − B ≠ B − A. Die Reihenfolge der Matrizen spielt eine entscheidende Rolle. Das Ergebnis von A − B ist genau das Negative von B − A, also A − B = −(B − A).