Matrix Y-Achsen Rotation
Onlinerechner zum Berechnen der Drehung einer 3x3 Matrix um die Y-Achse
Y-Achsen Rotations Rechner
Anleitung
Geben Sie den Rotationswinkel für die Y-Achse ein. Wählen Sie die Maßeinheit (Grad/Radiant) und den Rotationsmodus (Aktiv/Passiv). Klicken Sie dann auf Rechnen.
Y-Achsen Rotation - Übersicht
Y-Achsen Rotation
Bei der Y-Achsen Rotation wird ein Objekt oder Vektor um die Y-Achse gedreht. Die Rotation kann aktiv (Objekt dreht sich) oder passiv (Koordinatensystem dreht sich) sein.
Aktive Rotation (entgegen Uhrzeigersinn)
Bei der aktiven Rotation wird das Objekt im Koordinatensystem gedreht:
\(R_y(\alpha)= \begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0\\-\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{bmatrix}\)
Passive Rotation (im Uhrzeigersinn)
Bei der passiven Rotation wird das Koordinatensystem gedreht:
\(R_y^{-1}(\alpha)= \begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 & - \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \alpha & 0 & \cos \alpha\end{bmatrix}\)
Eigenschaften
- Aktive Rotation: Geometrische Transformation, entgegen dem Uhrzeigersinn
- Passive Rotation: Koordinatensystem-Transformation, im Uhrzeigersinn
- Y-Koordinate: Bleibt bei Y-Achsen-Rotation unverändert
- X- und Z-Koordinaten: Werden durch die Rotation transformiert
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Beschreibung zur Matrix Y-Achsen Rotation
Aktive Rotation
Bei der aktiven Rotation wird der Vektor bzw. das Objekt im Koordinatensystem gedreht. Die aktive Rotation wird auch geometrische Transformation genannt. Die Drehung verläuft entgegen dem Uhrzeigersinn.
Formel der aktiven Rotation:
\(R_y(\alpha)= \begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0\\-\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{bmatrix}\)
Beispiel: 90° aktive Rotation
Bei α = 90°:
\(R_y(90°)= \begin{bmatrix}0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
Eigenschaften
- Die Y-Koordinate bleibt unverändert (2. Zeile und 2. Spalte)
- X- und Z-Koordinaten werden durch cos(α) und sin(α) transformiert
- Drehung erfolgt in der XZ-Ebene
- Positive Winkel drehen entgegen dem Uhrzeigersinn
Passive Rotation
Bei der passiven Rotation wird das Koordinatensystem gedreht. Der Vektor bleibt unverändert. Die Drehung verläuft im Uhrzeigersinn. Dies ist die inverse Transformation der aktiven Rotation.
Formel der passiven Rotation:
\(R_y^{-1}(\alpha)= \begin{bmatrix} \cos \alpha & 0 & - \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \alpha & 0 & \cos \alpha\end{bmatrix}\)
Beispiel: 90° passive Rotation
Bei α = 90°:
\(R_y^{-1}(90°)= \begin{bmatrix}0 & 0 & -1\\ 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)
Unterschied zur aktiven Rotation
- Vorzeichen: Bei passiver Rotation ist das Vorzeichen von sin(α) vertauscht
- Inverse: Ry-1(α) = Ry(-α)
- Koordinatensystem: Dreht sich statt des Objekts
- Drehrichtung: Im Uhrzeigersinn statt entgegen
Praktische Anwendungen
3D-Grafik & Animation:
- Rotation von 3D-Objekten um die Y-Achse
- Kamera-Yaw-Bewegungen (Horizontal schwenken)
- Drehbare Turm- und Turret-Animationen
Robotik & Ingenieurwesen:
- Roboterarm-Gelenkrotation
- Turm-Rotation (z.B. Radar, Windmühle)
- Fahrzeug-Lenkung und Navigation
Mathematische Eigenschaften
- Orthogonal: RyT = Ry-1
- Determinante: det(Ry) = 1
- Identität: Ry(0°) = I
- Periodisch: Ry(α + 360°) = Ry(α)
- Komposition: Ry(α)·Ry(β) = Ry(α+β)
- Inverse: Ry-1(α) = Ry(-α)