Determinante einer 4×4 Matrix
Onlinerechner zum Berechnen der Determinante einer 4x4 Matrix
Determinanten Rechner 4×4
Anleitung
Geben Sie die Werte der 4×4 Matrix ein, deren Determinante berechnet werden soll. Leere Felder werden als Null gewertet. Klicken Sie auf Rechnen.
Determinante - Übersicht
Was ist eine Determinante?
Die Determinante ist eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird. Sie ist ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung linearer Gleichungssysteme und gibt Aufschluss über die Eigenschaften der Matrix.
Notation
Die Determinante einer Matrix A wird dargestellt als:
\(\det(A)\) oder \(|A|\)
Berechnung für 4×4 Matrix
Für eine 4×4 Matrix wird die Determinante durch Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte berechnet. Die Matrix wird in vier 3×3-Determinanten zerlegt, die wiederum in 2×2-Determinanten entwickelt werden.
Wichtige Eigenschaften
- det(A) = 0: Matrix ist singulär (nicht invertierbar)
- det(A) ≠ 0: Matrix ist regulär (invertierbar)
- det(AB) = det(A) · det(B)
- det(AT) = det(A)
- det(kA) = k4 · det(A) (für 4×4)
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Beschreibung der Determinante einer 4×4 Matrix
Grundlagen
Die Determinante ist eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und aus ihren Elementen berechnet werden kann. Sie ist ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung linearer Gleichungssysteme.
Berechnungsmethode:
Für eine 4×4 Matrix wird die Determinante gefunden, indem sie in vier 3×3-Determinanten expandiert wird.
- Wähle eine Zeile oder Spalte (meist die erste)
- Multipliziere jedes Element mit seiner Unterdeterminante
- Alterniere die Vorzeichen: +, −, +, −
- Addiere alle Terme
Entwicklung nach erster Zeile
Für eine 4×4 Matrix:
Wobei \(M_{ij}\) die 3×3 Unterdeterminanten sind.
Eigenschaften
Wichtige Regeln
- Nullzeile: Enthält eine Zeile nur Nullen → det(A) = 0
- Zeilenvertauschung: Vorzeichen ändert sich
- Vielfaches: Zeile mit k multiplizieren → det mit k multiplizieren
- Linearkombination: Zeile zu anderer addieren → det bleibt gleich
Bedeutung des Wertes
- det(A) = 0: Matrix ist singulär
- Nicht invertierbar
- Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung
- Vektoren sind linear abhängig
- det(A) ≠ 0: Matrix ist regulär
- Invertierbar
- Gleichungssystem hat eindeutige Lösung
- Vektoren sind linear unabhängig
Rechenregeln
- \(\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)\)
- \(\det(A^T) = \det(A)\)
- \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\)
- \(\det(kA) = k^4 \cdot \det(A)\) für 4×4
Praktische Anwendungen
Mathematik & Physik:
- Lösung linearer Gleichungssysteme (Cramersche Regel)
- Berechnung von Eigenwerten
- Volumenberechnung (Parallelepiped)
- Vektorprodukt im 3D-Raum
Informatik & Technik:
- Computer-Grafik (Transformationen)
- Robotik (Kinematik)
- Machine Learning (Kovarianzmatrizen)
- Numerische Stabilität prüfen
Weitere Informationen
Eine ausführliche Beschreibung zu dem Thema finden Sie im Tutorium
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