Euler-Winkel aus Rotationsmatrix
Onlinerechner zum Extrahieren von Euler-Winkeln (Roll, Pitch, Yaw) aus einer Rotationsmatrix
Euler-Winkel Rechner
Anleitung
Diese Funktion konvertiert aus einer Rotations-Matrix die Euler-Winkel (Yaw, Pitch, Roll). Geben Sie die Rotationsmatrix ein und klicken Sie dann auf Rechnen.
Euler-Winkel - Übersicht
Was sind Euler-Winkel?
Euler-Winkel beschreiben die Orientierung eines starren Körpers im dreidimensionalen Raum. Die Winkel Roll (φ), Pitch (θ) und Yaw (ψ) werden aus einer Rotationsmatrix extrahiert.
Berechnungsformeln
Allgemeine Lösung:
ψ = atan2(m₂₁, m₁₁)
θ = -asin(m₃₁)
φ = atan2(m₃₂, m₃₃)
Winkeldefinitionen
- Yaw (ψ): Rotation um die Z-Achse (Gieren)
- Pitch (θ): Rotation um die Y-Achse (Nicken)
- Roll (φ): Rotation um die X-Achse (Rollen)
Gimbal Lock
Bei Pitch = ±90° tritt der sogenannte "Gimbal Lock" ein. In diesem Fall sind Yaw und Roll nicht eindeutig bestimmbar.
Sonderfall θ = -90° (m₃₁ = 1):
ψ = 0, φ = atan2(-m₁₂, -m₁₃)
Sonderfall θ = 90° (m₃₁ = -1):
ψ = 0, φ = atan2(m₁₂, m₁₃)
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Konvertierung einer Rotationsmatrix in Euler-Winkel
Allgemeine Lösung
Die allgemeine Lösung zur Wiederherstellung von Euler-Winkeln aus einer Rotationsmatrix erfolgt durch inverse trigonometrische Funktionen.
Yaw Winkel (ψ):
\(\displaystyle \psi=\tan^{-1}\left(\frac{m_{21}}{m_{11}}\right)=\text{atan2}(m_{21},m_{11})\)
Pitch Winkel (θ):
\(\displaystyle \theta=-\sin^{-1}(m_{31})= -\text{asin}(m_{31})\)
Roll Winkel (φ):
\(\displaystyle \phi=\tan^{-1}\left(\frac{m_{32}}{m_{33}}\right)=\text{atan2}(m_{32},m_{33})\)
Gimbal Lock - Sonderfälle
Im Sonderfall, wenn der Nickwinkel (θ) = ±90° beträgt, tritt ein Zustand ein, der als „Gimbal Lock" bezeichnet wird. Der Pitch-Winkel ist immer noch gültig, aber die anderen Winkel sind undefiniert.
Fall 1: θ = -90° (m₃₁ = 1)
Yaw Winkel:
\(\displaystyle \psi=0\)
Roll Winkel:
\(\displaystyle \phi=\tan^{-1}\left(\frac{-m_{12}}{-m_{13}}\right)=\text{atan2}(-m_{12},-m_{13})\)
Fall 2: θ = 90° (m₃₁ = -1)
Yaw Winkel:
\(\displaystyle \psi=0\)
Roll Winkel:
\(\displaystyle \phi=\tan^{-1}\left(\frac{m_{12}}{m_{13}}\right)=\text{atan2}(m_{12},m_{13})\)
Praktische Anwendungen
Robotik & Automation:
- Roboterarm-Orientierung
- Flugzeug- und Drohnensteuerung
- Kameraausrichtung
- Gyroskop-Daten
Computergrafik & Animation:
- 3D-Objekt-Rotation
- Kamera-Navigation
- Virtual Reality (VR)
- Augmented Reality (AR)
Wichtige Hinweise
- Die Rotationsmatrix muss orthogonal sein (RTR = I)
- Die Determinante der Matrix muss +1 sein (det(R) = 1)
- Die Rotationsreihenfolge ist Z-Y-X (Yaw-Pitch-Roll)
- Bei Gimbal Lock ist eine alternative Darstellung empfehlenswert (z.B. Quaternionen)
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