Matrix 4×4 Vektor-Rotation
Onlinerechner zum Berechnen der Rotation einer 4x4 Matrix um einen beliebigen Vektor
Vektor-Rotations Rechner
Anleitung
Geben Sie den Rotationsvektor (Achse) und den Rotationswinkel ein. Der Rechner erstellt eine 4×4 Matrix, die um diesen Vektor rotiert. Klicken Sie auf Rechnen.
Vektor-Rotation - Übersicht
Achsen-Winkel-Rotation
Diese Funktion erstellt eine 4×4 Rotationsmatrix, die eine Rotation um einen beliebigen Vektor (Achse) um einen bestimmten Winkel darstellt. Dies wird auch Axis-Angle Representation genannt.
Rodrigues-Formel
Die Rotation um einen Einheitsvektor v = (x, y, z) um den Winkel θ wird mit der Rodrigues-Rotationsformel berechnet:
\(R = I + \sin(\theta)K + (1-\cos(\theta))K^2\)
Komponenten
- Vektor (x, y, z): Rotationsachse (wird normalisiert)
- Winkel θ: Drehwinkel um die Achse
- 4×4 Matrix: Homogene Koordinaten für 3D-Grafik
- Vierte Zeile/Spalte: (0, 0, 0, 1) für Translation
Eigenschaften
- Beliebige Achse: Rotation um jeden Vektor möglich
- Normalisierung: Vektor wird automatisch normalisiert
- Rechte-Hand-Regel: Positive Winkel drehen entgegen Uhrzeigersinn
- Homogen: 4×4 Format für 3D-Transformationen
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Beschreibung zur Vektor-Rotation
Achsen-Winkel-Rotation
Der Rechner erstellt eine 4×4 Matrix, die um einen beliebigen Vektor rotiert. Diese Darstellung wird in der 3D-Grafik häufig verwendet, da sie eine Rotation um eine beliebige Achse im Raum ermöglicht.
Eingabeparameter:
- Rotationsachse: Vektor (x, y, z)
- Rotationswinkel: θ in Grad oder Radiant
- Maßeinheit: Grad oder Radiant
Rodrigues-Formel
Die Rotation wird mit der Rodrigues-Formel berechnet:
Wobei K die schiefesymmetrische Matrix des Einheitsvektors ist.
Anwendungen
3D-Grafik & Animation
- Kamera-Rotation: Blick in beliebige Richtung
- Objekt-Rotation: Um eigene Achse drehen
- Skelett-Animation: Gelenke rotieren
- Quaternion-Alternative: Axis-Angle ist intuitiver
4×4 Matrix-Format
Die 4×4 Matrix hat die Form:
\(\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} & 0\\ r_{21} & r_{22} & r_{23} & 0\\ r_{31} & r_{32} & r_{33} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
Die obere linke 3×3 Untermatrix enthält die Rotation, die vierte Zeile und Spalte ermöglichen Translationen.
Wichtige Hinweise
- Der Vektor wird automatisch normalisiert
- Positive Winkel: Rechte-Hand-Regel
- Rotation um Koordinatenachsen: X = (1,0,0), Y = (0,1,0), Z = (0,0,1)
Praktische Anwendungen
Computer-Grafik:
- OpenGL/DirectX Transformationen
- Unity/Unreal Engine Rotationen
- 3D-Modellierung (Blender, Maya)
- Camera Look-At Funktionen
Robotik & Simulation:
- Roboterarm-Gelenkrotation
- Flugzeug/Drohnen-Steuerung
- Physik-Simulationen
- Kinematik-Berechnungen
Mathematischer Hintergrund
Die Rodrigues-Rotationsformel (benannt nach Olinde Rodrigues) ist eine effiziente Methode zur Berechnung der Rotation um eine beliebige Achse:
Gegeben:
- Einheitsvektor v (normalisiert)
- Rotationswinkel θ
Formel:
- \(R = I + \sin(\theta)K + (1-\cos(\theta))K^2\)
- I: Identitätsmatrix
- K: Kreuzprodukt-Matrix
Beispiel
Rotation um Diagonale (1, 1, 1) um 45°:
- Vektor X = 1, Y = 1, Z = 1 (wird zu (0.577, 0.577, 0.577) normalisiert)
- Winkel = 45° (oder 0.785 Radiant)
- Ergebnis: Eine 4×4 Matrix, die eine Rotation um diese Diagonale darstellt