Determinante einer 3×3 Matrix
Onlinerechner zum Berechnen der Determinante einer 3x3 Matrix
Determinanten Rechner
Anleitung
Geben Sie die Matrix ein, deren Determinante berechnet werden soll. Leere Felder werden als Null gewertet. Klicken Sie dann auf Rechnen.
Determinante - Übersicht
Was ist eine Determinante?
Die Determinante ist eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und aus ihren Elementen berechnet werden kann. Sie ist ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung linearer Gleichungssysteme.
Berechnungsformel
Für eine 3×3 Matrix:
det(A) = a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂)
- a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁)
+ a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)
Wichtige Eigenschaften
- det(A) = 0: Matrix ist singulär (nicht invertierbar)
- det(A) ≠ 0: Matrix ist regulär (invertierbar)
- det(AB) = det(A) · det(B)
- det(Aᵀ) = det(A)
- det(A⁻¹) = 1/det(A)
Regel von Sarrus
Eine praktische Methode für 3×3 Matrizen:
- Schreiben Sie die ersten zwei Spalten rechts neben die Matrix
- Addieren Sie die Produkte der Hauptdiagonalen
- Subtrahieren Sie die Produkte der Nebendiagonalen
Weitere Informationen
Eine ausführliche Beschreibung zur Determinante finden Sie hier im Tutorium.
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Detaillierte Beschreibung zur Determinante
Definition
Die Determinante ist eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und aus ihren Elementen berechnet werden kann. Sie gibt wichtige Informationen über die Matrix und ist besonders nützlich bei der Lösung linearer Gleichungssysteme.
- Bestimmt, ob eine Matrix invertierbar ist
- Gibt das Volumen eines Parallelepipeds an
- Wird bei der Cramer'schen Regel verwendet
- Wichtig für Eigenwertberechnungen
Berechnungsmethoden
Für 3×3 Matrizen gibt es mehrere Berechnungsmethoden:
- Regel von Sarrus (nur für 3×3)
- Entwicklung nach Zeile oder Spalte
- Laplace-Entwicklung
Beispiel
Gegeben:
A = [2 2 3]
[1 3 4]
[1 1 1]
Berechnung:
det(A) = 2(3·1 - 4·1) - 2(1·1 - 4·1) + 3(1·1 - 3·1)
= 2(3 - 4) - 2(1 - 4) + 3(1 - 3)
= 2(-1) - 2(-3) + 3(-2)
= -2 + 6 - 6
= -2
Rechenregeln
- det(kA) = k³·det(A) für 3×3 Matrizen
- det(AB) = det(A)·det(B)
- det(Aᵀ) = det(A)
- Zeilentausch: det ändert Vorzeichen
- Nullzeile: det = 0
- Proportionale Zeilen: det = 0
Praktische Anwendungen
Mathematik:
- Lösung linearer Gleichungssysteme (Cramer'sche Regel)
- Berechnung der inversen Matrix
- Eigenwertbestimmung
- Volumenberechnung
Physik & Technik:
- Koordinatentransformationen
- Stabilitätsanalyse
- Computergrafik (3D-Transformationen)
- Quantenmechanik