Matrix 4×4 X-Achsen Rotation
Onlinerechner zum Berechnen der Drehung einer 4x4 Matrix um die X-Achse
X-Achsen Rotations Rechner 4×4
Anleitung
Geben Sie den Rotationswinkel für die X-Achse ein. Wählen Sie die Maßeinheit (Grad/Radiant) und den Rotationsmodus (Aktiv/Passiv). Bei passiver Rotation kann optional ein Zentrumsvektor angegeben werden.
X-Achsen Rotation - Übersicht
X-Achsen Rotation
Bei der X-Achsen Rotation wird ein Objekt oder Vektor um die X-Achse gedreht. Die Rotation kann aktiv (Objekt dreht sich) oder passiv (Koordinatensystem dreht sich) sein.
Aktive Rotation (entgegen Uhrzeigersinn)
Bei der aktiven Rotation wird das Objekt im Koordinatensystem gedreht:
\(R_x(\alpha)= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
Passive Rotation (im Uhrzeigersinn)
Bei der passiven Rotation wird das Koordinatensystem gedreht:
\(R_x^{-1}(\alpha)= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha & 0\\0 & -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
Eigenschaften
- X-Koordinate: Bleibt bei X-Achsen-Rotation unverändert
- Y- und Z-Koordinaten: Werden durch die Rotation transformiert
- Aktiv: Geometrische Transformation, entgegen dem Uhrzeigersinn
- Passiv: Koordinatensystem-Transformation, im Uhrzeigersinn
- 4×4 Format: Homogene Koordinaten für 3D-Transformationen
Beschreibung zur Matrix X-Achsen Rotation
Bei der Matrix Rotation wird zwischen aktiver und passiver Rotation unterschieden.
Aktive Rotation
Bei der aktiven Matrizen-Rotation wird das Objekt im Koordinatensystem gedreht. Die aktive Matrizen-Rotation wird auch geometrische Transformation genannt. Die Drehung verläuft entgegen dem Uhrzeigersinn.
Formel der aktiven X-Rotation:
\(R_x(\alpha)= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
Beispiel: 90° aktive Rotation
Bei α = 90°:
\(R_x(90°)= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
Eigenschaften
- Die X-Koordinate bleibt unverändert (1. Zeile und 1. Spalte)
- Y- und Z-Koordinaten werden durch cos(α) und sin(α) transformiert
- Drehung erfolgt in der YZ-Ebene
- Positive Winkel drehen entgegen dem Uhrzeigersinn
- Vierte Zeile/Spalte: (0, 0, 0, 1) für homogene Koordinaten
Passive Rotation
Bei der passiven Rotation wird das Koordinatensystem gedreht. Der Vektor bleibt unverändert. Die Drehung verläuft im Uhrzeigersinn. Dies ist die inverse Transformation der aktiven Rotation.
Formel der passiven X-Rotation:
\(R_x^{-1}(\alpha)= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha & 0\\0 & -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
Beispiel: 90° passive Rotation
Bei α = 90°:
\(R_x^{-1}(90°)= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
Unterschied zur aktiven Rotation
- Vorzeichen: Bei passiver Rotation ist das Vorzeichen von sin(α) vertauscht
- Inverse: Rx-1(α) = Rx(-α)
- Koordinatensystem: Dreht sich statt des Objekts
- Drehrichtung: Im Uhrzeigersinn statt entgegen
- Zentrumsvektor: Optional für Rotation um einen Punkt
Praktische Anwendungen
3D-Grafik & Animation:
- Rotation von 3D-Objekten um die X-Achse
- Kamera-Roll-Bewegungen
- Charakteranimationen (z.B. nicken)
- OpenGL/DirectX Transformationen
Robotik & Ingenieurwesen:
- Roboterarm-Gelenkrotation
- Flugzeug-Roll-Bewegung (Bank)
- Mechanische Drehbewegungen
- CAD/CAM-Software
Mathematische Eigenschaften
- Orthogonal: RxT = Rx-1
- Determinante: det(Rx) = 1
- Identität: Rx(0°) = I
- X-Achse invariant: Rx · (1,0,0,0) = (1,0,0,0)
- Periodisch: Rx(α + 360°) = Rx(α)
- Komposition: Rx(α)·Rx(β) = Rx(α+β)
- Inverse: Rx-1(α) = Rx(-α)
- Homogen: 4×4 Format für 3D-Transformationen
4×4 Matrix Besonderheiten
Die 4×4 Rotationsmatrix nutzt homogene Koordinaten, die in der 3D-Grafik unverzichtbar sind:
- Kombinierbarkeit: Rotation, Translation und Skalierung in einer Matrix
- Projektionen: Perspektivische Projektionen möglich
- Verkettung: Mehrere Transformationen durch Multiplikation
- Standardformat: In OpenGL, DirectX, Unity, Unreal Engine