Matrix 4×4 Invertierung
Onlinerechner zum Invertieren einer 4x4 Matrix (Inverse Matrix)
Inverse Matrix Rechner 4×4
Anleitung
Geben Sie die Werte der 4×4 Matrix ein, die invertiert werden soll. Die Matrix muss invertierbar sein (det(A) ≠ 0). Klicken Sie auf Rechnen.
Matrix Invertierung - Übersicht
Was ist eine inverse Matrix?
Die inverse Matrix A-1 ist die Matrix, die mit der ursprünglichen Matrix A multipliziert die Einheitsmatrix I ergibt: A · A-1 = I
Bedingung für Invertierbarkeit
Eine Matrix ist nur dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist:
\(\det(A) \neq 0\)
Cramersche Regel (2×2)
Für eine 2×2 Matrix:
\(\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}\)
Singuläre Matrix
- det(A) = 0: Matrix ist singulär (nicht invertierbar)
- det(A) ≠ 0: Matrix ist regulär (invertierbar)
- Zeilen linear abhängig: → Determinante = 0
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Invertierung einer Matrix
Die Cramersche Regel
Eine Matrix kann nicht immer invertiert werden. Es gibt eine schnelle Methode, um eine Inverse für eine 2×2 Matrix zu erhalten. Dies ist ein Spezialfall der Cramerschen Regel, die zur Lösung von Gleichungssystemen verwendet wird.
Inverse einer 2×2 Matrix:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -b\\-c & a\end{bmatrix}\)
Drei Schritte
- Tausche die diagonalen Elemente aus
- Ändere das Vorzeichen der anderen Elemente
- Teile jedes Element durch \(ad-bc\)
Nicht immer invertierbar
Singuläre Matrix
Angenommen in der Formel wäre ad = bc. Dann ergibt ad - bc = 0, und man würde versuchen, durch Null zu teilen.
Also gibt es folglich keine Umkehrung. In diesem Fall nennt man die ursprüngliche Matrix A eine singuläre Matrix.
Determinante
Ohne die Inverse Matrix tatsächlich zu berechnen, kann man entscheiden, ob eine Inverse existiert, indem man einfach eine einzelne Zahl berechnet: den Nenner in der Formel. Dieser Nenner wird Determinante genannt.
Wenn die Determinante gleich Null ist, handelt es sich um eine singuläre Matrix, die also nicht invertiert werden kann.
Für größere Matrizen
Die Cramers-Regel existiert auch für größere Matrizen, ist aber rechnerisch sehr ineffizient. Daher ist es hilfreich, besonders für große Matrizen, wenn man vor dem Start feststellen kann, ob das Inverse existiert. Das kann man, indem man auch für große Matrizen die Determinante der Matrix definiert.
Eigenschaften der inversen Matrix
- Identität: \(A \cdot A^{-1} = I\)
- Kommutativ: \(A^{-1} \cdot A = I\)
- Eindeutigkeit: Inverse ist eindeutig
- Doppelte Inverse: \((A^{-1})^{-1} = A\)
- Produkt: \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
- Determinante: \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\)
Praktische Anwendungen
Mathematik & Physik:
- Lösung linearer Gleichungssysteme
- Koordinatentransformationen
- Matrixgleichungen lösen
Computer-Grafik:
- Inverse Transformationen
- Rückwärts-Kinematik
- Kamera-Matrizen invertieren
Lineare Abhängigkeit
Eine andere Möglichkeit, \(ad = bc\) zu erhalten, ist, wenn die zweite Zeile der Matrix ein Vielfaches der ersten ist.
Beispiel: \(\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 4 & 8\end{bmatrix}\) ist singulär, da Zeile 2 = 2 × Zeile 1
Berechnungsmethoden für 4×4 Matrizen
Gauss-Jordan-Verfahren:
- Effizient für große Matrizen
- Elementare Zeilenoperationen
- [A|I] → [I|A-1]
Adjunkte Matrix:
- A-1 = adj(A) / det(A)
- Kofaktor-Matrix berechnen
- Transponieren und durch det teilen