Matrix YawPitchRoll-Rotation
Onlinerechner berechnet die Rotation einer 4x4 Matrix um die Y, X und Z Achsen
Mit dieser Funktion kann eine aktive Matrizen-Rotation (Objekt drehen) oder eine passive Matrizen-Rotation (Koordinaten drehen) berechnet werden
Bei der passiven Matrizen-Rotation kann optional der Vektor eines Zentrums für die Rotation angegeben werden
Die Maßeinheit des Winkels kann zwischen Grad oder Radian (Bogenmaß) umgeschaltet werden
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Matrizen Rotation um die X,Y und Z Achsen
Bei der Matrix Rotation wird zwischen aktiver und passiver Rotation unterschieden.
Aktive Rotation
Bei der aktiven Rotation wird der Vektor bzw. das Objekt im Koordinatensystem gedreht. Die aktive Rotation wird auch geometrischen Transformation genannt. Die Drehung verläuft entgegen dem Uhrzeigersinn.
Beispiel einer 90° Drehung der X-Achse\(R_x(\alpha)= \left[\matrix{1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 0 & 1} \right]\) \(= \left[\matrix{1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1} \right]\)
Passive Rotation
Bei der passiven Rotation wird das Koordinatensystem gedreht. Der Vektor bleibt unverändert. Die Drehung verläuft im Uhrzeigersinn.
\(R_x^{-1}(\alpha)= \left[\matrix{1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha & 0\\0 & -\sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 0 & 1} \right]\) \(= \left[\matrix{1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1} \right]\)
Yaw, Pitch, Roll Rotations
Ein 3D-Körper kann um drei Achsen gedreht werden. Diese Rotationen werden im Englischen als Yaw Pitch Roll bezeichnet.
Yaw bezeichnet die Drehung der Z-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Die Rotationsmatrix sieht folgenden Maßen aus
\(R_z(\alpha)= \left[\matrix{\cos \alpha & - \sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 1} \right]\)
Pitch bezeichnet die Drehung der Y-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Die Rotationsmatrix dazu zeigt die nächste Abbildung
\(R_y(\beta)= \left[\matrix{\cos \beta & 0 & \sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin \beta & 0 & \cos \beta} \right]\)
Roll ist die Drehung der X-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Die Rotationsmatrix zur X-Achse zeigt die nächste Abbildung
\(R_x(\gamma;)= \left[\matrix{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \gamma; & - \sin \gamma; \\ 0 & \sin \gamma; & \cos \gamma; } \right]\)
Formel zur Yaw, Pitch, Roll Rotation
Jede Rotationsmatrix ist eine einfache Erweiterung der 2D-Rotationsmatrix. Zum Beispiel führt die Yaw-Matrix im Wesentlichen eine 2D-Rotation in Bezug auf die und die Koordinaten durch, während die Koordinate unverändert bleibt. So sehen die dritte Zeile und die dritte Spalte wie ein Teil der Identitätsmatrix aus, während der obere rechte Teil wie die 2D-Rotationsmatrix aussieht.
Die Yaw-, Pitch- und Roll-drehungen können verwendet werden, um einen 3D-Körper in jede Richtung zu platzieren. Eine einzige Rotationsmatrix kann gebildet werden, indem die Matrizen multipliziert werden.
\(R(\alpha\beta\gamma) = R_z(\alpha)\cdot R_y(\beta)\cdot R_x(\gamma)= \)
\( \left[ \matrix{ cos\; \alpha \cdot cos\; \beta & cos\; \alpha \cdot sin \;\beta \cdot sin\; \gamma - sin\; \alpha \cdot cos\; \gamma & cos\; \alpha \cdot sin\; \beta \cdot cos\; \gamma + sin\; \alpha \cdot sin\; \gamma \\ sin\; \alpha \cdot cos\; \beta & sin\; \alpha \cdot sin \;\beta \cdot sin\; \gamma + cos\; \alpha \cdot cos\; \gamma & sin\; \alpha \cdot sin\; \beta \cdot cos\; \gamma - cos\; \alpha \cdot sin\; \gamma \\ -sin\;\beta & cos\;\beta \cdot sin \;\gamma & cos\;\beta \cdot cos\;\gamma } \right]\)
Matrizen 3x3 Funktionen
Addition • Subtraktion • Multiplikation • Skalar Multiplikation • Rotation X-Achse • Rotation Y-Achse • Rotation Z-Achse • Rotation X-, Y-, Z-Achsen • Rotationsmatrix • Winkel aus Rotationsmatrix • Invertieren • DeterminanteMatrix 4x4 Funktionen
Addition • Subtraktion • Multiplikation • Skalar Multiplikation • Rotation X-Achse • Rotation Y-Achse • Rotation Z-Achse • Rotation X-, Y-, Z-Achsen • Rotation um einen Vektor • Invertieren • Determinante • Interpolation
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