Rotationsmatrix Rechner
Onlinerechner zur Konvertierung der Euler-Winkel in eine Rotationsmatrix
XYZ-Achsen Rotations Rechner
Anleitung
Diese Funktion berechnet die 3D Rotation eines Körpers/Vektors mit Euler-Winkeln nach ZYX-Konvention. Geben Sie die Rotationswinkel ein und klicken Sie auf Rechnen.
Rotationsmatrix - Übersicht
Was ist eine Rotationsmatrix?
Eine Rotationsmatrix beschreibt die Rotation eines Körpers oder Vektors im 3D-Raum durch Euler-Winkel (Yaw, Pitch, Roll) nach der ZYX-Konvention.
Rotationswinkel
- Yaw (ψ): Rotation um die Z-Achse (Gieren)
- Pitch (θ): Rotation um die Y-Achse (Nicken)
- Roll (φ): Rotation um die X-Achse (Rollen)
Rotationsmodi
Aktive Rotation: Der Vektor/das Objekt wird im Koordinatensystem gedreht (entgegen dem Uhrzeigersinn). Auch geometrische Transformation genannt.
Passive Rotation: Das Koordinatensystem wird gedreht, der Vektor bleibt unverändert (im Uhrzeigersinn).
Gimbal Lock
Bei der ZYX-Konvention entsteht ein Problem, wenn ein Pitch-Winkel von 90° eingestellt wird. Dann ist sowohl Rollen als auch Gieren die gleiche Bewegung.
Dieser Zustand wird "Gimbal-Lock" genannt und muss verhindert werden. Alternative: Rotation mit Quaternion
Matrizen Rotation um die Z, Y und X Achsen
Einzelne Rotationen
Yaw - Z-Achse Rotation
Yaw bezeichnet die Drehung der Z-Achse gegen den Uhrzeigersinn:
\(R_z(\alpha)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & - \sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix}\)
Pitch - Y-Achse Rotation
Pitch bezeichnet die Drehung der Y-Achse gegen den Uhrzeigersinn:
\(R_y(\beta)= \begin{bmatrix}\cos \beta & 0 & \sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin \beta & 0 & \cos \beta\end{bmatrix}\)
Roll - X-Achse Rotation
Roll ist die Drehung der X-Achse gegen den Uhrzeigersinn:
\(R_x(\gamma)= \begin{bmatrix}\cos \alpha & - \sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
Kombinierte Rotation
Jede Rotationsmatrix ist eine einfache Erweiterung der 2D-Rotationsmatrix. Die Yaw-, Pitch- und Roll-Drehungen können verwendet werden, um einen 3D-Körper in jede Richtung zu platzieren.
Kombinierte Rotationsmatrix:
Eine einzige Rotationsmatrix kann gebildet werden, indem die Matrizen multipliziert werden:
\(R(\alpha,\beta,\gamma) = R_z(\alpha)\cdot R_y(\beta)\cdot R_x(\gamma)\)
\( \begin{bmatrix} \cos \alpha \cdot \cos \beta & \cos \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma - \sin \alpha \cdot \cos \gamma & \cos \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \gamma + \sin \alpha \cdot \sin \gamma \\ \sin \alpha \cdot \cos \beta & \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma + \cos \alpha \cdot \cos \gamma & \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \cos \gamma - \cos \alpha \cdot \sin \gamma \\ -\sin \beta & \cos \beta \cdot \sin \gamma & \cos \beta \cdot \cos \gamma \end{bmatrix}\)
Eigenschaften
- Zum Beispiel führt die Yaw-Matrix eine 2D-Rotation bezüglich der X- und Y-Koordinaten durch, während die Z-Koordinate unverändert bleibt
- Die dritte Zeile und dritte Spalte sehen wie ein Teil der Identitätsmatrix aus
- Der obere rechte Teil sieht wie die 2D-Rotationsmatrix aus
Beispiel: Aktive Rotation (90°)
90° Drehung der Z-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn:
\(R_z(90°)= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos 90° & -\sin 90° \\0 & \sin 90° & \cos 90° \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}\)
Beispiel: Passive Rotation (90°)
90° Drehung der Z-Achse im Uhrzeigersinn:
\(R_z^{-1}(90°)= \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos 90° & \sin 90° \\0 & -\sin 90° & \cos 90° \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}\)
Praktische Anwendungen
Robotik & Automation:
- Roboterarm-Orientierung und -Steuerung
- Flugzeug- und Drohnennavigation
- Kamera-Positionierung
Computergrafik & Gaming:
- 3D-Objekt-Rotation und Animation
- Virtual Reality (VR) und Augmented Reality (AR)
- Spielcharakter-Orientierung