Matrix 4×4 Skalar-Multiplikation
Onlinerechner zum Multiplizieren einer 4x4 Matrix mit einer reellen Zahl (Skalar)
Matrix-Skalar Rechner 4×4
Anleitung
Geben Sie die Werte der 4×4 Matrix und den Skalar (reelle Zahl) ein. Leere Felder werden als Null gewertet. Klicken Sie auf Rechnen.
Skalar-Multiplikation - Übersicht
Was ist ein Skalar?
Matrizen können mit reellen Zahlen multipliziert werden. Die reelle Zahl wird Skalar genannt, um sie von Matrizen zu unterscheiden.
Berechnungsregel
Matrix und Skalar werden multipliziert, indem die einzelnen Elemente der Matrix mit dem Skalar multipliziert werden:
\(k \cdot A = k \cdot \begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}k \cdot a_{ij}\end{bmatrix}\)
Element-weise Multiplikation
- Jedes Element wird mit dem Skalar multipliziert
- k = 0: Ergibt Nullmatrix
- k = 1: Matrix bleibt unverändert
- k = -1: Alle Vorzeichen werden umgekehrt
Eigenschaften
- Kommutativ: k·A = A·k
- Assoziativ: (k·m)·A = k·(m·A)
- Distributiv: k·(A+B) = k·A + k·B
- Einfach: Nur 16 Multiplikationen für 4×4
Beschreibung zur Matrizen-Skalar Multiplikation
Skalar-Multiplikation
Matrizen können mit reellen Zahlen multipliziert werden. Die reelle Zahl wird Skalar genannt, um sie von Matrizen zu unterscheiden.
4×4 Skalar-Multiplikation:
\(\displaystyle\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{bmatrix} \cdot k = \begin{bmatrix}k \cdot a_{11} & k \cdot a_{12} & k \cdot a_{13} & k \cdot a_{14}\\k \cdot a_{21} & k \cdot a_{22} & k \cdot a_{23} & k \cdot a_{24}\\ k \cdot a_{31} & k \cdot a_{32} & k \cdot a_{33} & k \cdot a_{34}\\k \cdot a_{41} & k \cdot a_{42} & k \cdot a_{43} & k \cdot a_{44}\end{bmatrix}\)
Berechnungsschritte
- Nehme den Skalar k (reelle Zahl)
- Multipliziere jedes Element der Matrix mit k
- Das Ergebnis ist wieder eine 4×4 Matrix
Beispiel (4×4)
Vollständige Berechnung
\(\displaystyle A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4\\4 & 5 & 6 & 7\\7 & 8 & 9 & 9\\2 & 4 & 6 & 8\end{bmatrix} \cdot 3\)
Jedes Element × 3:
\(=\begin{bmatrix}3 & 6 & 9 & 12 \\12 & 15 & 18 & 21\\21 & 24 & 27 & 27 \\6 & 12 & 18 & 24 \end{bmatrix}\)
Spezielle Skalare
- k = 0: Nullmatrix (alle Elemente = 0)
- k = 1: Identität (Matrix unverändert)
- k = -1: Negation (alle Vorzeichen umkehren)
- k = 1/det(A): Teil der Inversen-Berechnung
Effizienz
Skalar-Multiplikation ist sehr effizient: Für eine 4×4 Matrix sind nur 16 Multiplikationen erforderlich (keine Additionen).
Eigenschaften der Skalar-Multiplikation
- Kommutativ: k·A = A·k
- Assoziativ (Skalare): (k·m)·A = k·(m·A)
- Distributiv (Skalare): (k+m)·A = k·A + m·A
- Distributiv (Matrizen): k·(A+B) = k·A + k·B
- Determinante: det(k·A) = k4·det(A) für 4×4
- Spur: tr(k·A) = k·tr(A)
Praktische Anwendungen
3D-Grafik:
- Skalierung von Objekten (Größe ändern)
- Normalisierung von Transformationen
- Helligkeits-/Kontrast-Anpassungen
Mathematik & Physik:
- Gleichungssysteme vereinfachen
- Einheiten-Konvertierung
- Eigenwert-Berechnungen
Vergleich: Skalar vs. Matrix-Multiplikation
Skalar-Multiplikation (k·A):
- Element-weise Multiplikation
- 16 Multiplikationen (4×4)
- Kommutativ: k·A = A·k
- Sehr einfach und schnell
Matrix-Multiplikation (A×B):
- Zeile × Spalte Produktsummen
- 64 Multiplikationen (4×4)
- NICHT kommutativ: A×B ≠ B×A
- Komplexer und aufwändiger
Spezialfälle und Tricks
Negation (k = -1):
\(-1 \cdot A = -A\)
Alle Elemente erhalten umgekehrte Vorzeichen
Nullmatrix (k = 0):
\(0 \cdot A = 0\)
Ergibt die Nullmatrix (alle Elemente = 0)
Halbierung (k = 0.5):
\(0.5 \cdot A = \frac{A}{2}\)
Nützlich für Mittelwert-Berechnungen
Normalisierung (k = 1/||A||):
Matrix auf Einheits-Norm skalieren