Matrix 4×4 Multiplikation
Onlinerechner zum Multiplizieren von 4x4 Matrizen
Matrix Multiplikations Rechner 4×4
Anleitung
Geben Sie die Werte beider 4×4 Matrizen ein, die multipliziert werden sollen. Leere Felder werden als Null gewertet. Klicken Sie auf Rechnen.
Matrix Multiplikation - Übersicht
Wichtige Bedingung
Zwei Matrizen können multipliziert werden, wenn die Spaltenanzahl der linken Matrix mit der Zeilenanzahl der rechten Matrix übereinstimmt. Für 4×4: Beide müssen 4×4 sein.
Berechnungsregel
Das Produkt wird berechnet, indem die Produktsummen der Paare aus den Zeilenvektoren der ersten Matrix und den Spaltenvektoren der zweiten Matrix berechnet werden.
\(C_{ij} = \sum_{k=1}^{4} A_{ik} \cdot B_{kj}\)
Nicht kommutativ!
A × B ≠ B × A
Die Reihenfolge ist wichtig! Im Gegensatz zur Addition ist die Matrixmultiplikation
nicht kommutativ.
Eigenschaften
- Assoziativ: (A × B) × C = A × (B × C)
- Distributiv: A × (B + C) = A × B + A × C
- Identität: A × I = I × A = A
- 4×4 Format: 64 Multiplikationen, 48 Additionen
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Beschreibung zur Matrizenmultiplikation
Multiplikationsregel
Es gibt eine spezielle Regel für Multiplikationen von Matrizen, die so konstruiert sind, dass sie simultane Gleichungen mithilfe von Matrizen darstellen können.
4×4 Matrixmultiplikation:
\(\displaystyle\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14}\\b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24}\\b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34}\\b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44}\end{bmatrix}\)
Wichtige Regeln
- Spalten = Zeilen: Spaltenanzahl von A muss Zeilenanzahl von B entsprechen
- Produktsummen: Zeile × Spalte für jedes Element
- Nicht kommutativ: A×B ≠ B×A
- Dimension: (4×4) × (4×4) = (4×4)
Beispiel (2×3 × 3×3)
Berechnung
A × B = C
\(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}10 & 11 & 12 \\ 20 & 21 & 22 \\ 30 & 31 & 32\end{bmatrix}\)
Element C[0,0]:
\(\displaystyle \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}10 \\ 20 \\ 30 \end{bmatrix} = 1 \cdot 10 + 2 \cdot 20 + 3 \cdot 30 = 140\)
Vollständiges Ergebnis
\(\displaystyle = \begin{bmatrix} 1 \cdot 10+2 \cdot 20+3 \cdot 30 & 1 \cdot 11+2 \cdot 21+3 \cdot 31 & 1 \cdot 12+2 \cdot 22+3 \cdot 32 \\ 4 \cdot 10+5 \cdot 20+6 \cdot 30 & 4 \cdot 11+5 \cdot 21+6 \cdot 31 & 4 \cdot 12+5 \cdot 22+6 \cdot 32 \end{bmatrix}\)
\(\displaystyle = \begin{bmatrix}140 & 146 & 152 \\ 320 & 335 & 350 \end{bmatrix}\)
Eigenschaften der Matrixmultiplikation
- Assoziativ: (A×B)×C = A×(B×C)
- Distributiv links: A×(B+C) = A×B + A×C
- Distributiv rechts: (A+B)×C = A×C + B×C
- Identität: A×I = I×A = A
- Null: A×0 = 0×A = 0
- Inverse: A×A-1 = I (wenn invertierbar)
Praktische Anwendungen
3D-Grafik & Computer Vision:
- Transformation von 3D-Objekten
- Kamera-View-Projection Matrizen
- Skelett-Animation (Bone-Hierarchien)
- Verkettung von Transformationen
Mathematik & Physik:
- Lösung linearer Gleichungssysteme
- Koordinatentransformationen
- Quantenmechanik (Operatoren)
- Netzwerktheorie (Adjazenzmatrizen)
Rechenaufwand für 4×4
Für die Multiplikation zweier 4×4 Matrizen sind erforderlich:
- 64 Multiplikationen: 4 × 4 × 4 (für jedes Element 4 Multiplikationen)
- 48 Additionen: 3 × 4 × 4 (für jedes Element 3 Additionen)
- Komplexität: O(n³) für n×n Matrizen
- GPU-Beschleunigung: Parallelisierung möglich
Wichtig: Nicht kommutativ!
Im Gegensatz zur Addition ist die Matrixmultiplikation NICHT kommutativ:
A × B ≠ B × A
Die Reihenfolge der Matrizen ist entscheidend! Dies ist besonders wichtig in der 3D-Grafik, wo die Reihenfolge von Transformationen (Rotation, Translation, Skalierung) das Endergebnis stark beeinflusst.
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