Matrix Addition 4×4
Onlinerechner zum Addieren von 4x4 Matrizen
Matrix Additions Rechner 4×4
Anleitung
Geben Sie die Werte beider 4×4 Matrizen ein, die addiert werden sollen. Leere Felder werden als Null gewertet. Klicken Sie auf Rechnen.
Matrix Addition - Übersicht
Voraussetzungen
Zur Matrizen-Addition müssen die Matrizen übereinstimmen. Das heißt, sie müssen die gleiche Anzahl von Zeilen und Spalten haben (hier: 4×4).
Berechnungsformel
Bei einer Matrizenaddition werden die entsprechenden Matrizenelemente addiert:
\(\displaystyle\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14}\\b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24}\\b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34}\\b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44}\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} & a_{14}+b_{14}\\a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23} & a_{24}+b_{24}\\a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32} & a_{33}+b_{33} & a_{34}+b_{34}\\a_{41}+b_{41} & a_{42}+b_{42} & a_{43}+b_{43} & a_{44}+b_{44}\end{bmatrix} \)
Beispiel (3×3 zur Veranschaulichung)
Gegeben:
\(\displaystyle\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 & 4 & 7\\2 & 5 & 8\\3 & 6 & 9\end{bmatrix} \)
Berechnung:
\( = \begin{bmatrix}1+1 & 2+4 & 3+7\\4+2 & 5+5 & 6+8\\7+3 & 8+6 & 9+9\end{bmatrix} \)
Ergebnis:
\( = \begin{bmatrix}2 & 6 & 10\\6 & 10 & 14\\10 & 14 & 18\end{bmatrix} \)
Eigenschaften
- Kommutativ: A + B = B + A
- Assoziativ: (A + B) + C = A + (B + C)
- Null-Element: A + 0 = A
- Inverse: A + (−A) = 0
- 4×4 Format: 16 Elemente pro Matrix
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Beschreibung zur Matrizen Addition 4×4
Grundlagen
Zur Matrizen-Addition müssen die Matrizen übereinstimmen. Das heißt, sie müssen die gleiche Anzahl von Zeilen und die gleiche Anzahl von Spalten haben. Um eine Matrizenaddition auszuführen, werden die entsprechenden Matrizenelemente addiert.
Allgemeine Formel (4×4):
\(\displaystyle\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14}\\b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24}\\b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34}\\b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44}\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & \cdots & a_{14}+b_{14}\\a_{21}+b_{21} & \cdots & a_{24}+b_{24}\\a_{31}+b_{31} & \cdots & a_{34}+b_{34}\\a_{41}+b_{41} & \cdots & a_{44}+b_{44}\end{bmatrix} \)
Rechenregeln
- Element-weise: Jedes Element wird einzeln addiert
- Gleiche Dimension: Beide Matrizen müssen 4×4 sein
- Kommutativ: A + B = B + A (Reihenfolge egal)
- 16 Additionen: Für eine 4×4 Matrix
Beispiel (3×3 zur Veranschaulichung)
Schritt-für-Schritt Berechnung
Aufgabe:
\(\displaystyle\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 & 4 & 7\\2 & 5 & 8\\3 & 6 & 9\end{bmatrix} \)
Schritt 1: Element-weise addieren
\( = \begin{bmatrix}1+1 & 2+4 & 3+7\\4+2 & 5+5 & 6+8\\7+3 & 8+6 & 9+9\end{bmatrix} \)
Schritt 2: Ergebnis
\( = \begin{bmatrix}2 & 6 & 10\\6 & 10 & 14\\10 & 14 & 18\end{bmatrix} \)
Eigenschaften
- Kommutativ: A + B = B + A
- Assoziativ: (A + B) + C = A + (B + C)
- Distributiv: k(A + B) = kA + kB
- Null-Element: A + 0 = A
- Inverse: A + (−A) = 0
- Dimension: 4×4 = 16 Elemente
Praktische Anwendungen von 4×4 Matrizen
3D-Grafik & Computer Vision:
- Homogene Koordinaten (3D + Translation)
- Transformationsmatrizen in OpenGL/DirectX
- Kamera-Projektionen
Robotik & Ingenieurwesen:
- Denavit-Hartenberg-Parameter
- Roboterarm-Kinematik
- Mehrkörpersimulationen
Besonderheit der 4×4 Matrix
4×4 Matrizen werden besonders in der 3D-Computergrafik verwendet, da sie homogene Koordinaten darstellen können. Dies ermöglicht es, Rotationen, Skalierungen UND Translationen (Verschiebungen) in einer einzigen Matrix zu kombinieren. Die vierte Dimension wird für die Translation verwendet.