Onlinerechner zur Konvertierung der Euler-Winkel in eine Rotationsmatrix
Diese Funktion berechnet die 3D Rotation eines Körpers/Vektors mit Euler-Winkeln nach ZYX-Konvention.
Die Maßeinheit der Winkel kann zwischen Grad oder Radian (Bogenmaß) umgeschaltet werden
Es kann die Aktive Rotation (Objekt drehen) oder die passive Rotation (Koordinaten drehen) berechnet werden
Zur Berechnung geben Sie die Rotationwinkel ein. Dann klicken Sie auf den Button 'Rechnen'.
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EIn Problem an der Drehung mit 3 Winkeln besteht dann, wenn eine Konfiguration entsteht bei der 2 Drehachsen übereinander liegen.
Bei der ZYX-Konvention entsteht ein Problem wenn ein Pitch-Winkel von 90∘ eingestellt wird. Dann ist sowohl Rollen als auch Gieren (Yaw) die gleiche Bewegung, was aber keine Änderung der Lage bewirkt. Dieser Zustand, das so genannte “Gimbal-Lock” und muss verhindert werden. Aus diesem Grund wird häufig die Rotation mit der Quaternion vorgezogen.
Rotation mit der Quaternion finden Sie hier
Bei der aktiven Rotation wird der Vektor bzw. das Objekt im Koordinatensystem gedreht. Die aktive Rotation wird auch geometrischen Transformation genannt. Die Drehung verläuft entgegen dem Uhrzeigersinn.
Beispiel einer 90° Drehung der Z-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn\(R_z(\alpha)= \left[\matrix{1 & 0 & 0\\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\0 & \sin \alpha & \cos \alpha } \right]\) \(= \left[\matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0} \right]\)
Bei der passiven Rotation wird das Koordinatensystem gedreht. Der Vektor bleibt unverändert. Die Drehung verläuft im Uhrzeigersinn.
\(R_z^{-1}(\alpha)= \left[\matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & \sin \alpha \\0 & -\sin \alpha & \cos \alpha } \right]\) \(= \left[\matrix{1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 } \right]\)
Ein 3D-Körper kann um drei Achsen gedreht werden. Diese Rotationen werden im Englischen als Yaw Pitch Roll bezeichnet.
Yaw bezeichnet die Drehung der Z-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Die Rotationsmatrix sieht folgenden Maßen aus
\(R_z(\alpha;)= \left[\matrix{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \gamma; & - \sin \gamma; \\ 0 & \sin \gamma; & \cos \gamma; } \right]\)
Pitch bezeichnet die Drehung der Y-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Die Rotationsmatrix dazu zeigt die nächste Abbildung
\(R_y(\beta)= \left[\matrix{\cos \beta & 0 & \sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin \beta & 0 & \cos \beta} \right]\)
Roll ist die Drehung der X-Achse gegen den Uhrzeigersinn. Die Rotationsmatrix zur X-Achse zeigt die nächste Abbildung
\(R_x(\gamma)= \left[\matrix{\cos \alpha & - \sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\0 & 0 & 1} \right]\)
Jede Rotationsmatrix ist eine einfache Erweiterung der 2D-Rotationsmatrix. Zum Beispiel führt die Yaw-Matrix im Wesentlichen eine 2D-Rotation in Bezug auf die und die Koordinaten durch, während die Koordinate unverändert bleibt. So sehen die dritte Zeile und die dritte Spalte wie ein Teil der Identitätsmatrix aus, während der obere rechte Teil wie die 2D-Rotationsmatrix aussieht.
Die Yaw-, Pitch- und Roll-drehungen können verwendet werden, um einen 3D-Körper in jede Richtung zu platzieren. Eine einzige Rotationsmatrix kann gebildet werden, indem die Matrizen multipliziert werden.
\(R(\alpha\beta\gamma) = R_z(\alpha)\cdot R_y(\beta)\cdot R_x(\gamma)= \)
\( \left[ \matrix{ cos\; \alpha \cdot cos\; \beta & cos\; \alpha \cdot sin \;\beta \cdot sin\; \gamma - sin\; \alpha \cdot cos\; \gamma & cos\; \alpha \cdot sin\; \beta \cdot cos\; \gamma + sin\; \alpha \cdot sin\; \gamma \\ sin\; \alpha \cdot cos\; \beta & sin\; \alpha \cdot sin \;\beta \cdot sin\; \gamma + cos\; \alpha \cdot cos\; \gamma & sin\; \alpha \cdot sin\; \beta \cdot cos\; \gamma - cos\; \alpha \cdot sin\; \gamma \\ -sin\;\beta & cos\;\beta \cdot sin \;\gamma & cos\;\beta \cdot cos\;\gamma } \right]\)
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