Dodekaederstern Rechner

Rechner und Formeln zur Berechnung eines Dodekaedersterns

Der Sternförmige Dodekaeder - Pentagramm-Spitzen in Perfektion!

Dodekaederstern Rechner

Der Dodekaederstern

Ein Dodekaederstern ist ein sternförmiger Körper mit pentagrammförmigen Spitzen.

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Wert des gewählten Parameters
Dodekaederstern Berechnungsergebnisse
Seitenlänge a:
Kantenlänge s:
Volumen V:
Oberfläche S:
Umkreisradius r:
Höhe h:
Dodekaederstern Eigenschaften

Der Sternkörper: Dodekaeder mit pentagrammförmigen Spitzen

12 Pentagramm-Flächen 30 Kanten 12 Ecken Goldener Schnitt

Dodekaederstern Struktur

Dodekaederstern

Der sternförmige Dodekaeder mit Pentagramm-Spitzen.
Basiert auf dem goldenen Schnitt.

Was ist ein Dodekaederstern?

Ein Dodekaederstern ist ein faszinierender sternförmiger Körper:

  • Definition: Sternförmige Form des Dodekaeders
  • Flächen: 12 pentagrammförmige Spitzen
  • Basis: Reguläres Dodekaeder
  • Ecken: 12 Ecken insgesamt
  • Kanten: 30 Kanten
  • Symmetrie: Ikosaedrische Symmetrie

Geometrische Eigenschaften des Dodekaedersterns

Der Dodekaederstern zeigt bemerkenswerte geometrische Eigenschaften:

Grundparameter
  • Grundkörper: Reguläres Dodekaeder
  • Spitzen: 12 pentagrammförmige Pyramiden
  • Euler-Charakteristik: V - E + F = 12 - 30 + 12 = -6
  • Sternform: Kleine Sternform (Kepler-Poinsot)
Besondere Eigenschaften
  • Goldener Schnitt: Alle Proportionen mit φ
  • Pentagramme: 12 regelmäßige Pentagramme
  • Nicht-konvex: Sternförmige Struktur
  • Selbst-durchdringend: Komplexe Geometrie

Mathematische Beziehungen

Der Dodekaederstern folgt eleganten mathematischen Gesetzen mit dem goldenen Schnitt:

Volumen-Formel
V ≈ 17.135·a³

Komplexe Formel mit √5. Goldener Schnitt überall.

Oberflächen-Formel
S ≈ 46.165·a²

Sum der Pentagramm-Flächen. Elegante √5-Geometrie.

Anwendungen des Dodekaedersterns

Dodekaedersterne finden Anwendung in verschiedenen Bereichen:

Kunst & Design
  • Skulpturale Kunstwerke
  • Architektonische Elemente
  • Dekorative Objekte
  • Symmetrie-basierte Designs
Wissenschaft & Mathematik
  • Goldener Schnitt Studien
  • Kepler-Poinsot Polyeder
  • Kristallographische Modelle
  • Symmetrie-Forschung
Bildung & Lehre
  • Geometrie-Unterricht
  • Goldener Schnitt Demonstration
  • 3D-Geometrie Studien
  • Polyeder-Mathematik
Spiritualität & Symbolik
  • Symbolische Bedeutungen
  • Esoterische Geometrie
  • Meditation und Kontemplation
  • Pentagramm-Symbolik

Formeln zum Dodekaederstern

Kantenlänge (s)
\[s = \frac{a}{2} \cdot (1 + \sqrt{5})\] \[s \approx a \cdot 1.618\]

Kantenlänge mit goldenem Schnitt φ

Volumen (V)
\[V = \frac{5}{4} \cdot a^3 \cdot (7 + 3 \cdot \sqrt{5})\] \[V \approx a^3 \cdot 17.135\]

Komplexe Volumenformel mit √5

Oberfläche (S)
\[S = 15 \cdot a^2 \cdot \sqrt{5 + 2 \cdot \sqrt{5}}\] \[S \approx a^2 \cdot 46.165\]

Oberfläche der Pentagramm-Spitzen

Umkreisradius (r)
\[r = \frac{a}{4} \cdot \sqrt{50 + 22 \cdot \sqrt{5}}\] \[r \approx a \cdot 2.49\]

Umkreisradius mit √5-Abhängigkeit

Höhe (h)
\[h = \frac{a}{5} \cdot \sqrt{25 + 10 \cdot \sqrt{5}}\] \[h \approx a \cdot 1.3764\]

Höhe der Stern-Struktur

Goldener Schnitt
\[\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618\]

Fundamentale Konstante des Dodekaedersterns

Dodekaederstern Parameter
Grundkörper
Reguläres Dodekaeder
Spitzen
12 Pentagramme
Symmetrie
Ikosaedrisch
Basis
Goldener Schnitt φ

Alle Eigenschaften basieren auf dem goldenen Schnitt φ = (1+√5)/2

Berechnungsbeispiel für einen Dodekaederstern

Gegeben
Seitenlänge a = 10

Gesucht: Alle Eigenschaften des sternförmigen Dodekaeders

1. Kantenlängen-Berechnung
\[s = 1.618 \times 10 = 16.18\]

Die Kantenlänge beträgt 16.18 Längeneinheiten

2. Volumen-Berechnung
\[V = 17.135 \times 10^3\] \[V = 17.135 \times 1000\] \[V = 17135\]

Das Volumen beträgt 17135 Volumeneinheiten

3. Oberflächen-Berechnung
\[S = 46.165 \times 10^2\] \[S = 46.165 \times 100\] \[S = 4616.5\]

Die Oberfläche beträgt 4616.5 Flächeneinheiten

4. Radien und Höhe
\[r = 2.49 \times 10 = 24.9\] \[h = 1.3764 \times 10 = 13.764\]

Umkreisradius: 24.9, Höhe: 13.764 Einheiten

5. Der sternförmige Dodekaeder
Seitenlänge a = 10.0 Kantenlänge s = 16.18 Volumen V = 17135 Oberfläche S = 4616.5
Umkreisradius r = 24.9 Höhe h = 13.764 12 Pentagramme Goldener Schnitt φ
⭐ Sternförmig 🔷 Nicht-konvex ✨ Kepler-Poinsot

Der sternförmige Dodekaeder mit perfekter goldener Schnitt Harmonie

Der Dodekaederstern: Das Pentagramm in 3D

Der Dodekaederstern ist ein außergewöhnlicher geometrischer Körper, der die Eleganz des goldenen Schnitts in dreidimensionaler Perfektion verkörpert. Als einer der vier Kepler-Poinsot-Polyeder stellt er eine faszinierende Erweiterung des regulären Dodekaeders dar, bei der jede der zwölf fünfeckigen Flächen durch eine pentagrammförmige Spitze ersetzt wird. Diese Transformation schafft eine sternförmige Struktur von außergewöhnlicher mathematischer Schönheit und symbolischer Bedeutung, die seit Jahrhunderten Mathematiker, Künstler und Philosophen gleichermaßen fasziniert.

Die Geometrie des goldenen Schnitts

Der Dodekaederstern verkörpert die Perfektion des goldenen Schnitts:

  • Goldener Schnitt φ: Fundamentale Konstante in allen Proportionen
  • Pentagramme: 12 regelmäßige fünfzackige Sterne
  • Nicht-konvexe Form: Selbst-durchdringende Struktur
  • Ikosaedrische Symmetrie: Höchste dreidimensionale Symmetrie
  • Kepler-Poinsot: Einer der vier regulären Sternpolyeder
  • Dualität: Verwandt mit dem großen Dodekaeder
  • Mystische Proportionen: Alle Maße enthalten √5

Mathematische und kulturelle Bedeutung

Kepler-Poinsot Erbe

Als einer der vier regulären Sternpolyeder gehört der Dodekaederstern zu den wichtigsten Entdeckungen der nicht-konvexen Geometrie, die unser Verständnis von Regelmäßigkeit erweitert haben.

Pentagramm-Symbolik

Die zwölf Pentagramme verbinden den Dodekaederstern mit jahrtausendealter Symbolik, von pythagoräischen Geheimnissen bis zu modernen esoterischen Traditionen.

Mathematische Eleganz

Die komplexen Formeln mit √5 und dem goldenen Schnitt zeigen, wie fundamentale mathematische Konstanten zu außergewöhnlicher geometrischer Schönheit führen können.

Künstlerische Inspiration

Von M.C. Eschers Kunstwerken bis zu modernen Skulpturen inspiriert der Dodekaederstern Künstler durch seine Verbindung von mathematischer Präzision und visueller Dramatik.

Zusammenfassung

Der Dodekaederstern steht als Meisterwerk der nicht-konvexen Geometrie da und verkörpert die perfekte Synthese aus mathematischer Präzision und symbolischer Tiefe. Seine zwölf pentagrammförmigen Spitzen, alle durchdrungen vom goldenen Schnitt, machen ihn zu einem der faszinierendsten Objekte der Geometrie. Von seiner Rolle in der Kepler-Poinsot-Familie bis zu seinen Anwendungen in Kunst, Architektur und spiritueller Symbolik zeigt der Dodekaederstern, wie die Erweiterung klassischer geometrischer Konzepte zu völlig neuen Dimensionen der Schönheit und Bedeutung führen kann. Als lebendes Symbol des goldenen Schnitts in dreidimensionaler Form bleibt er eine unerschöpfliche Quelle der Inspiration für alle, die von der Harmonie zwischen Mathematik und Ästhetik fasziniert sind.