Bessel-K Funktion berechnen

Online Rechner zur modifizierten Bessel-Funktion Kᵥ(z) der zweiten Art - Exponentiell abfallende Lösungen für physikalische Systeme

Bessel-K Funktion Rechner

Modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art

Die Kᵥ(z) oder modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art zeigt exponentiell abfallendes Verhalten und beschreibt gedämpfte Prozesse.

Ordnungszahl (ganzzahlig)
Argument der Funktion (z > 0)
Resultat
Kᵥ(z):

Bessel-K Funktionskurve

Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Die K-Funktion zeigt exponentiell abfallendes Verhalten für große z.

Warum exponentiell abfallendes Verhalten?

Die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art unterscheidet sich fundamental von der ersten Art:

  • Exponentieller Abfall: Kᵥ(z) → 0 für z → ∞
  • Singularität bei z=0: Kᵥ(0) → ∞
  • Physikalische Dämpfung: Beschreibt Diffusion und Wärmeverlust
  • Komplementäre Funktion: Partner zu Iᵥ(z)
  • Randwertprobleme: Wichtig für unendliche Gebiete
  • Asymptotik: Kᵥ(z) ~ √(π/2z) e^(-z)

Physikalische Anwendungen der Bessel-K Funktion

Die Bessel-K Funktion ist unverzichtbar für Dämpfungs- und Diffusionsprozesse:

Wärmeleitung
  • Wärmeabfuhr in unendlichen Gebieten
  • Stationäre Temperaturverteilungen
  • Kühlkörper und Wärmetauscher
Diffusionsprozesse
  • Konzentrationsgradiente
  • Massentransport in Materialien
  • Poröse Medien und Filtration

Formeln zur Bessel-K Funktion

Definition
\[K_\nu(z) = \frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(z) - I_\nu(z)}{\sin(\nu \pi)}\]

Definition über modifizierte Bessel-Funktionen erster Art

Für ganzzahlige ν
\[K_n(z) = \lim_{\nu \to n} K_\nu(z)\]

Grenzwertdefinition für ganzzahlige Ordnungen

Integraldarstellung
\[K_\nu(z) = \int_0^\infty e^{-z \cosh t} \cosh(\nu t) dt\]

Integralform für Re(z) > 0

Asymptotische Form
\[K_\nu(z) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2z}} e^{-z} \left(1 + \frac{4\nu^2-1}{8z} + \ldots\right)\]

Für große z (exponentieller Abfall)

Rekursionsformel
\[\frac{2\nu}{z} K_\nu(z) = K_{\nu-1}(z) - K_{\nu+1}(z)\]

Rekursion für benachbarte Ordnungen

Symmetrieeigenschaft
\[K_{-\nu}(z) = K_\nu(z)\]

Symmetrie bzgl. der Ordnung

Verhalten bei z → 0
\[K_\nu(z) \sim \frac{\Gamma(|\nu|)}{2} \left(\frac{2}{z}\right)^{|\nu|}\]

Singularität im Ursprung

Spezielle Werte

Wichtige Werte
K₀(1) ≈ 0.421 K₁(1) ≈ 0.602 K₀(2) ≈ 0.114
Symmetrieeigenschaften
K_{-ν}(z) = K_ν(z)

Für alle reellen ν

Singularität bei z = 0
\[\lim_{z \to 0^+} K_\nu(z) = +\infty\]

Für alle ν ≥ 0

Verhalten bei z → ∞
\[\lim_{z \to \infty} K_\nu(z) = 0\]

Exponentieller Abfall

Anwendungsgebiete

Wärmeleitung, Diffusion, elektromagnetische Abschirmung, Quantenfeldtheorie.

Bessel-K Abfallverhalten

Bessel-K Funktionen
Bessel-K Funktionen (Ordnung 0,1,2)

Die K-Funktionen zeigen charakteristischen exponentiellen Abfall mit Singularitäten bei z = 0 und verschiedenen Abfallraten je nach Ordnung.

Charakteristische Eigenschaften
  • Kᵥ(z) → ∞ für z → 0⁺
  • Kᵥ(z) → 0 für z → ∞
  • Asymptotisch: ~ √(π/2z) e^(-z)
  • Monoton abfallend für alle z > 0

Ausführliche Beschreibung der Bessel-K Funktion

Mathematische Definition

Die modifizierte Bessel-Funktion zweiter Art Kᵥ(z) ist die zweite linear unabhängige Lösung der modifizierten Bessel-Differentialgleichung. Im Gegensatz zu Iᵥ(z) zeigt sie exponentiell abfallendes Verhalten und ist bei z = 0 singulär.

Fundamentale Eigenschaft: Kᵥ(z) → 0 für z → ∞ (exponentieller Abfall)
Verwendung des Rechners

Geben Sie die Ordnungszahl ν (ganze Zahl) und das Argument z (positive reelle Zahl) ein. Die K-Funktion ist nur für z > 0 definiert aufgrund der Singularität bei z = 0.

Physikalischer Hintergrund

Die Bessel-K Funktionen beschreiben Dämpfungs- und Abfallprozesse in zylindrischen Geometrien. Sie sind besonders wichtig für Probleme mit unendlichen Randbedingungen, wo physikalische Größen im Unendlichen verschwinden müssen.

Eigenschaften und Anwendungen

Physikalische Anwendungen
  • Wärmeleitung in unendlichen zylindrischen Medien
  • Diffusionsprozesse mit Randbedingungen im Unendlichen
  • Elektromagnetische Abschirmung und Skin-Effekt
  • Quantenfeldtheorie und Teilchenphysik
Mathematische Eigenschaften
  • Exponentieller Abfall für große z
  • Singularität bei z = 0
  • Symmetrie: K₋ᵥ(z) = Kᵥ(z)
  • Monoton abfallend für alle z > 0
Numerische Aspekte
  • Stabilität: Numerisch herausfordernd für kleine z
  • Algorithmen: Spezielle Methoden für verschiedene z-Bereiche
  • Genauigkeit: Hohe Präzision bei großen z
  • Effizienz: Rekursionsformeln für benachbarte Ordnungen
Interessante Fakten
  • K₀(z) ist wichtig für logarithmische Potentiale in 2D
  • K₁(z) tritt in der Relativitätstheorie bei thermischen Gleichgewichten auf
  • K-Funktionen sind essentiell für Greensche Funktionen in der Physik
  • Sie beschreiben das Verhalten von Feldern bei großen Entfernungen

Berechnungsbeispiele und Abfallverhalten

Kleines Argument

z = 0.5:

K₀(0.5) ≈ 0.924

K₁(0.5) ≈ 1.656

Mittleres Argument

z = 2:

K₀(2) ≈ 0.114

K₁(2) ≈ 0.140

Großes Argument

z = 10:

K₀(10) ≈ 1.78×10⁻⁵

Starker exponentieller Abfall

Detaillierte physikalische Anwendungen

Wärmeleitung

Stationäre Wärmeleitung:

T(r) = A K₀(r/λ) für zylindrische Wärmequelle

λ ist die charakteristische Länge

Beispiel: Kühlkörper mit exponentiell abfallender Temperatur.

Elektromagnetismus

Skin-Effekt:

E(r) ∝ K₀(r/δ) in leitfähigem Medium

δ ist die Skin-Tiefe

Beispiel: Elektromagnetische Abschirmung und Eindringtiefe.

Mathematische Eigenschaften und Relationen

Asymptotisches Verhalten

Für große z:

Kᵥ(z) ~ √(π/2z) e^(-z)

Für kleine z (ν > 0):

Kᵥ(z) ~ Γ(ν)/2 (2/z)^ν

Besonderheit: K₀(z) ~ -ln(z) für kleine z.

Beziehungen zu anderen Funktionen

Wronskische Determinante:

W[Iᵥ, Kᵥ] = -1/z

Beziehung zu Hankel-Funktionen:

Kᵥ(z) = (π/2)i^(ν+1) H^(1)_ν(iz)

Bedeutung: Fundamentales Lösungssystem mit Iᵥ(z).

Spezielle Ordnungen und Grenzfälle

Ordnung ν = 0

K₀(z) - Fundamentallösung:

\[K_0(z) = \int_0^\infty e^{-z \cosh t} dt\]

Logarithmische Singularität bei z = 0

Anwendung: 2D-Probleme, logarithmische Potentiale.

Ordnung ν = 1

K₁(z) - Ableitung von K₀:

\[K_1(z) = -\frac{d}{dz} K_0(z)\]

Wichtig für Gradientenprobleme

Anwendung: Diffusionsflüsse, thermische Gradienten.

Numerische Berechnung und Algorithmen

Berechnungsmethoden
  • Series Expansion: Für kleine z (mit Vorsicht bei Singularität)
  • Asymptotic Expansion: Für große z ≥ 15
  • Recurrence Relations: Für benachbarte Ordnungen
  • Continued Fractions: Für mittlere z-Bereiche
Software-Implementierungen
  • GNU GSL: Hochpräzise K-Funktionen
  • Boost Math: C++ Template-Bibliothek
  • SciPy: Python scipy.special.kv
  • MATLAB: Built-in besselk Funktion

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