Sphärische Bessel J Funktion jv(x) berechnen
Online Rechner zur Berechnung der sphärischen Bessel Funktion der ersten Art
Sphärische Bessel-J Funktion Rechner
Sphärische Bessel-Funktion
Die jv(x) oder sphärische Bessel-Funktion ist eine spezielle Form der klassischen Bessel-Funktion für sphärische Koordinaten.
Sphärische Bessel-J Funktionskurve
Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Die sphärische Bessel-Funktion zeigt charakteristische Oszillationen in sphärischen Koordinaten.
Eigenschaften der sphärischen Bessel-J Funktion
Die sphärische Bessel-Funktion ist eine spezialisierte Form für sphärische Geometrie:
- Sphärische Koordinaten: jv(x) für Kugelprobleme
- Relation zu Jv: jv(x) = √(π/2x) Jv+1/2(x)
- Asymptotisches Verhalten: Oszillation mit 1/x Dämpfung
- Anwendung: Elektromagnetische Wellen in Kugeln
- Quantenmechanik: Radiale Wellenfunktionen
- Akustik: Schallwellen in kugelförmigen Hohlräumen
Sphärische Bessel-Funktionen in der Helmholtz-Gleichung
Die sphärische Bessel-J Funktion ist die reguläre Lösung der Helmholtz-Gleichung in Kugelkoordinaten:
Helmholtz-Gleichung (sphärisch)
In Kugelkoordinaten separiert
Radiale Lösung
Reguläre Lösung im Ursprung
Formeln zur sphärischen Bessel-J Funktion
Definition über klassische Bessel-Funktion
Fundamentale Relation zur klassischen Bessel-Funktion
Explizite Ausdrücke für kleine Ordnungen
Einfache trigonometrische Darstellung
Asymptotische Form
Für große x (einfacher als klassische Bessel-Funktion)
Rekursionsformeln
Rekursionsrelationen für sphärische Bessel-Funktionen
Orthogonalitätsrelation
Orthogonalität auf Kugelschalen
Spezielle Werte
Wichtige Werte
Nullstellen von j₀
Nullstellen bei ganzzahligen Vielfachen von π
Verhalten bei x = 0
Reguläres Verhalten im Ursprung
Anwendungsgebiete
Quantenmechanik, elektromagnetische Streuung an Kugeln, Akustik in kugelförmigen Hohlräumen, Atomphysik.
Beschreibung und Formeln
Die sphärischen Bessel-Funktionen sind eine spezielle Klasse von Funktionen, die in der Physik und Mathematik eine wichtige Rolle spielen. Sie sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung, die den radialen Anteil der Laplace-Gleichung bei zylindrischer oder sphärischer Symmetrie darstellt.
Bessel-Funktionen erster Gattung (Jν)
Diese Funktionen sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung und werden oft als Zylinderfunktionen bezeichnet. Die Bessel-Funktion erster Gattung n-ter Ordnung ist definiert als:
\(\displaystyle J_{\nu}(x) = \frac{(x/2)^{\nu}}{\Gamma(\nu + 1)} \, {}_0F_1(; \nu + 1; -x^2/4) \)
Dabei ist \(\Gamma(\nu + 1)\) die Gammafunktion und \(\nu\) eine reelle oder komplexe Zahl. Diese Funktionen treten in verschiedenen physikalischen Problemen auf, wie der Untersuchung von Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran, der Wärmeleitung in Stäben oder der Feldverteilung in Rundhohlleitern¹.
Sphärische Besselfunktionen (jμ)
Diese Funktionen sind spezielle Bessel-Funktionen, die in der sphärischen Geometrie auftreten. Sie sind Lösungen der Helmholtz-Gleichung in sphärischen Koordinaten. Die sphärische Bessel-Funktion jμ ist definiert als:
\(\displaystyle j_{\mu}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{\mu+1/2}(x) \)
Hierbei ist \(\mu\) eine ganze oder halbzahlige Ordnung. Sphärische Besselfunktionen werden beispielsweise bei der Beschreibung von elektromagnetischen Wellen in Kugelkoordinaten verwendet.
Sphärische Neumann-Funktionen (yμ)
Diese sind analog zu den sphärischen Besselfunktionen, jedoch mit einer anderen Definition. Sie treten ebenfalls in der sphärischen Geometrie auf.
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