Sphärische Bessel J Funktion jv(x) berechnen

Online Rechner zur Berechnung der sphärischen Bessel Funktion der ersten Art

Sphärische Bessel-J Funktion Rechner

Sphärische Bessel-Funktion

Die jv(x) oder sphärische Bessel-Funktion ist eine spezielle Form der klassischen Bessel-Funktion für sphärische Koordinaten.

Ordnung der sphärischen Bessel-Funktion
Argument der Funktion (x > 0)
X-Achsen Skalierung
Resultat
jv(x):

Sphärische Bessel-J Funktionskurve

Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Die sphärische Bessel-Funktion zeigt charakteristische Oszillationen in sphärischen Koordinaten.

Eigenschaften der sphärischen Bessel-J Funktion

Die sphärische Bessel-Funktion ist eine spezialisierte Form für sphärische Geometrie:

  • Sphärische Koordinaten: jv(x) für Kugelprobleme
  • Relation zu Jv: jv(x) = √(π/2x) Jv+1/2(x)
  • Asymptotisches Verhalten: Oszillation mit 1/x Dämpfung
  • Anwendung: Elektromagnetische Wellen in Kugeln
  • Quantenmechanik: Radiale Wellenfunktionen
  • Akustik: Schallwellen in kugelförmigen Hohlräumen

Sphärische Bessel-Funktionen in der Helmholtz-Gleichung

Die sphärische Bessel-J Funktion ist die reguläre Lösung der Helmholtz-Gleichung in Kugelkoordinaten:

Helmholtz-Gleichung (sphärisch)
\[\nabla^2 \psi + k^2 \psi = 0\]

In Kugelkoordinaten separiert

Radiale Lösung
\[R_l(kr) = j_l(kr)\]

Reguläre Lösung im Ursprung

Formeln zur sphärischen Bessel-J Funktion

Definition über klassische Bessel-Funktion
\[j_\nu(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{\nu+1/2}(x)\]

Fundamentale Relation zur klassischen Bessel-Funktion

Explizite Ausdrücke für kleine Ordnungen
\[j_0(x) = \frac{\sin x}{x}, \quad j_1(x) = \frac{\sin x}{x^2} - \frac{\cos x}{x}\]

Einfache trigonometrische Darstellung

Asymptotische Form
\[j_\nu(x) \sim \frac{1}{x} \cos\left(x - \frac{(\nu+1)\pi}{2}\right)\]

Für große x (einfacher als klassische Bessel-Funktion)

Rekursionsformeln
\[\frac{2\nu+1}{x} j_\nu(x) = j_{\nu-1}(x) + j_{\nu+1}(x)\] \[\frac{d}{dx} j_\nu(x) = \frac{\nu}{x} j_\nu(x) - j_{\nu+1}(x)\]

Rekursionsrelationen für sphärische Bessel-Funktionen

Orthogonalitätsrelation
\[\int_0^R r^2 j_l(k_m r) j_l(k_n r) dr = \frac{R^3}{2} \delta_{mn} [j_{l+1}(k_m R)]^2\]

Orthogonalität auf Kugelschalen

Spezielle Werte

Wichtige Werte
j₀(0) = 1 j₁(0) = 0 j₀(π) = 0
Nullstellen von j₀
π, 2π, 3π, 4π, ...

Nullstellen bei ganzzahligen Vielfachen von π

Verhalten bei x = 0
\[j_\nu(0) = \begin{cases} 1 & \text{wenn } \nu = 0 \\ 0 & \text{wenn } \nu > 0 \end{cases}\]

Reguläres Verhalten im Ursprung

Anwendungsgebiete

Quantenmechanik, elektromagnetische Streuung an Kugeln, Akustik in kugelförmigen Hohlräumen, Atomphysik.

Beschreibung und Formeln

Die sphärischen Bessel-Funktionen sind eine spezielle Klasse von Funktionen, die in der Physik und Mathematik eine wichtige Rolle spielen. Sie sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung, die den radialen Anteil der Laplace-Gleichung bei zylindrischer oder sphärischer Symmetrie darstellt.

Bessel-Funktionen erster Gattung (Jν)

Diese Funktionen sind Lösungen der Besselschen Differentialgleichung und werden oft als Zylinderfunktionen bezeichnet. Die Bessel-Funktion erster Gattung n-ter Ordnung ist definiert als:

\(\displaystyle J_{\nu}(x) = \frac{(x/2)^{\nu}}{\Gamma(\nu + 1)} \, {}_0F_1(; \nu + 1; -x^2/4) \)

Dabei ist \(\Gamma(\nu + 1)\) die Gammafunktion und \(\nu\) eine reelle oder komplexe Zahl. Diese Funktionen treten in verschiedenen physikalischen Problemen auf, wie der Untersuchung von Eigenschwingungen einer kreisförmigen Membran, der Wärmeleitung in Stäben oder der Feldverteilung in Rundhohlleitern¹.

Sphärische Besselfunktionen (jμ)

Diese Funktionen sind spezielle Bessel-Funktionen, die in der sphärischen Geometrie auftreten. Sie sind Lösungen der Helmholtz-Gleichung in sphärischen Koordinaten. Die sphärische Bessel-Funktion jμ ist definiert als:

\(\displaystyle j_{\mu}(x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{\mu+1/2}(x) \)

Hierbei ist \(\mu\) eine ganze oder halbzahlige Ordnung. Sphärische Besselfunktionen werden beispielsweise bei der Beschreibung von elektromagnetischen Wellen in Kugelkoordinaten verwendet.

Sphärische Neumann-Funktionen (yμ)

Diese sind analog zu den sphärischen Besselfunktionen, jedoch mit einer anderen Definition. Sie treten ebenfalls in der sphärischen Geometrie auf.

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