Inverse Gamma Funktion berechnen

Rechner und Formel zur Berechnung der inversen (reziproken) Gamma Funktion

Inverse Gamma Funktion Rechner

Reziproke Gamma Funktion

Die 1/Γ(x) oder reziproke Gamma-Funktion ist eine holomorphe Funktion ohne Pole und wichtig in der komplexen Analysis.

Reelle Zahl für inverse Gamma Funktion
Resultat
1/Γ(x):

Inverse Gamma Funktionskurve

Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Die inverse Gamma-Funktion ist überall holomorph (keine Pole).

Formeln zur inversen Gamma Funktion

Definition
\[\frac{1}{\Gamma(x)} = \text{reziproke Gamma-Funktion}\]

Kehrwert der Eulerschen Gamma-Funktion

Holomorphie
\[\frac{1}{\Gamma(z)} \text{ ist holomorph auf } \mathbb{C}\]

Keine Singularitäten in der komplexen Ebene

Produktdarstellung
\[\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-z/n}\]

Weierstraß'sche Produktformel

Nullstellen
\[\frac{1}{\Gamma(x)} = 0 \text{ bei } x = 0, -1, -2, -3, ...\]

Nullstellen bei negativen ganzen Zahlen

Eigenschaften

Spezielle Werte
1/Γ(1) = 1 1/Γ(2) = 1 1/Γ(0) = 0 1/Γ(-1) = 0
Holomorphie
Überall analytisch

Keine Pole in der komplexen Ebene

Asymptotik
\[\frac{1}{\Gamma(x)} \sim \frac{x^{x-1/2} e^{-x}}{\sqrt{2\pi}}\]

für große |x|

Anwendung

Komplexe Analysis, Zahlentheorie, mathematische Physik und Approximationstheorie.

Ausführliche Beschreibung der inversen Gamma Funktion

Mathematische Definition

Die inverse oder reziproke Gamma-Funktion ist definiert als der Kehrwert der Eulerschen Gamma-Funktion. Im Gegensatz zur Gamma-Funktion selbst ist sie eine ganze Funktion ohne Pole in der komplexen Ebene.

Definition: f(x) = 1/Γ(x)
Verwendung des Rechners

Geben Sie das Argument x ein und klicken Sie auf 'Rechnen'. Die Funktion ist überall definiert, hat aber Nullstellen bei negativen ganzen Zahlen.

Historischer Hintergrund

Die reziproke Gamma-Funktion wurde systematisch von Karl Weierstraß studiert, der ihre Produktdarstellung entwickelte. Sie spielt eine wichtige Rolle in der komplexen Analysis und der Theorie der ganzen Funktionen.

Eigenschaften und Anwendungen

Mathematische Anwendungen
  • Komplexe Analysis (ganze Funktionen)
  • Analytische Zahlentheorie
  • Approximationstheorie und Interpolation
  • Asymptotische Entwicklungen
Physikalische Anwendungen
  • Quantenfeldtheorie (Feynman-Diagramme)
  • Statistische Mechanik (Zustandssummen)
  • Mathematische Physik (Integralgleichungen)
  • Streutheorie (Resonanzen)
Besondere Eigenschaften
  • Holomorphie: Ganze Funktion ohne Pole
  • Nullstellen: Einfache Nullstellen bei x = 0, -1, -2, ...
  • Wachstum: Exponentielles Abklingen für große |x|
  • Symmetrie: Spezielle Reflexionseigenschaften
Interessante Fakten
  • 1/Γ(x) ist die einzige ganze Funktion mit Nullstellen bei negativen ganzen Zahlen
  • Weierstraß'sche Produktformel charakterisiert sie eindeutig
  • Wichtig für die Theorie der L-Funktionen in der Zahlentheorie
  • Verallgemeinerung zu multiplen Gamma-Funktionen möglich

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1

1/Γ(1) = 1

Da Γ(1) = 1

Beispiel 2

1/Γ(0) = 0

Nullstelle bei x = 0

Beispiel 3

1/Γ(1/2) = 1/√π ≈ 0.5642

Halbzahliger Wert


Weitere Spezial Funktionen

Airy    •   Abgeleitete Airy  •  Bessel I  •  Bessel Ie  •  Bessel J  •  Bessel Je  •  Bessel K  •  Bessel Ke  •  Bessel Y  •  Bessel Ye  •  Bessel Jv  •  Bessel Yv  •  Hankel  •  Fibonacci  •  Fibonacci Tabelle  •  Gamma Funktion  •  Inverse Gamma  •  Log Gamma  •  Digamma  •  Trigamma  •  Logit  •  Sigmoid  •  Derivative Sigmoid  •  Softsign  •  Derivative Softsign  •  Softmax  •  Struve  •  Modifizierte Struve  •  Struve Tabelle  •  Modifizierte Struve Tabelle  •  Riemann Zeta