Gamma Funktion berechnen

Online Rechner und Formeln zur Berechnung der Eulerschen Gamma Funktion

Gamma Funktion Rechner

Verwendung des Rechners

Geben Sie das Argument x ein und klicken Sie auf 'Rechnen'. Für ganze Zahlen ≤ 0 ist das Ergebnis ±∞.

Reelle Zahl > 0 für die Gamma Funktion
Resultat
Γ(x):

Gamma Funktionskurve

Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Y-Skala ist auf ±20 begrenzt für bessere Darstellung.

Formeln zur Eulerschen Gamma Funktion

Integraldarstellung
\[\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt\]

für Re(x) > 0

Fakultätsbeziehung
\[\Gamma(n+1) = n!\]

für natürliche Zahlen n

Rekursionsformel
\[\Gamma(x+1) = x \cdot \Gamma(x)\]
Reflexionsformel
\[\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \frac{\pi}{\sin(\pi x)}\]

Spezielle Werte

Wichtige Werte
Γ(1) = 1 Γ(2) = 1 Γ(3) = 2 Γ(4) = 6 Γ(5) = 24
Halbzahlige Werte
\[\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\]

≈ 1.772453851

Beispiel

Γ(0.5) = √π ≈ 1.772
Γ(1.5) = 0.5 × √π ≈ 0.886
Γ(2.5) = 1.5 × 0.5 × √π ≈ 1.329

Ausführliche Beschreibung der Gamma Funktion

Mathematische Definition

Die Eulersche Gammafunktion ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen in der Mathematik. Sie erweitert die Fakultätsfunktion auf reelle und komplexe Zahlen und wird durch das griechische Symbol Γ (Gamma) bezeichnet.

Eulersche Gamma Funktion

Die Γ(x) Funktion ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen in der Analysis und Funktionentheorie. Sie verallgemeinert die Fakultät auf reelle Zahlen.

Historischer Hintergrund

Die Gammafunktion wurde von Leonhard Euler im 18. Jahrhundert eingeführt und später von Adrien-Marie Legendre und Carl Friedrich Gauß weiterentwickelt. Sie spielt eine zentrale Rolle in vielen Bereichen der Mathematik.

Eigenschaften und Anwendungen

Mathematische Anwendungen
  • Wahrscheinlichkeitstheorie (Beta-Verteilung, Gamma-Verteilung)
  • Kombinatorik (Verallgemeinerung der Fakultät)
  • Analytische Zahlentheorie (Riemann-Zeta-Funktion)
  • Differentialgleichungen und Integralrechnung
Physikalische Anwendungen
  • Quantenmechanik (Wasserstoffatom, harmonischer Oszillator)
  • Statistische Mechanik (Maxwell-Boltzmann-Verteilung)
  • Kernphysik (radioaktiver Zerfall)
  • Astrophysik (Sternentwicklung)
Besondere Eigenschaften
  • Holomorphie: Γ(z) ist holomorph außer bei z = 0, -1, -2, ...
  • Funktionalgleichung: Γ(z+1) = z·Γ(z)
  • Konvexität: log Γ(x) ist konvex für x > 0
  • Stirling-Formel: Asymptotische Entwicklung für große x
Interessante Fakten
  • Γ(x) hat Pole bei x = 0, -1, -2, -3, ...
  • Die Bohr-Mollerup-Theorem charakterisiert Γ eindeutig
  • Verbindung zur Beta-Funktion: B(x,y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)
  • Die Gammafunktion ist die einzige log-konvexe Erweiterung der Fakultät


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