Fibonacci Zahlen berechnen

Online Rechner und Formeln zur Berechnung einer Fibonacci Zahl zu einem Index

Fibonacci Zahlen Rechner

Fibonacci Zahlenfolge

Der Rechner berechnet die n-te Fibonacci Zahl aus der berühmten Zahlenfolge, bei der jede Zahl die Summe der beiden vorangehenden ist.

Ganze Zahl ≥ 0 für die Position in der Fibonacci-Folge (beginnt mit Index 0)
Resultat
F(n):

Fibonacci Zahlenfolge

Erste 15 Fibonacci Zahlen:
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
Goldener Schnitt

Das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen nähert sich dem Goldenen Schnitt φ ≈ 1,618 an.

\[\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1{,}618034\]

Die Fibonacci-Folge erscheint häufig in der Natur: Blütenblätter, Tannenzapfen, Schneckenhäuser und Galaxienspiralen.

Formeln zur Fibonacci Zahlenfolge

Fibonacci Formel
Binet'sche Formel
\[F_n = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}\]

Wobei φ = (1+√5)/2 und ψ = (1-√5)/2

Rekursive Definition
\[F_n = F_{n-1} + F_{n-2}\]

Mit F₀ = 0 und F₁ = 1

Beispiele

Berechnungsbeispiele
  • F(0) = 0
  • F(1) = 1
  • F(6) = 8
  • F(10) = 55
  • F(20) = 6765
Anwendung

Fibonacci-Zahlen werden in der Informatik, Börsenanalyse, Architektur und Kunst verwendet.

Ausführliche Beschreibung der Fibonacci-Zahlen

Mathematische Definition

Die Fibonacci-Folge ist eine unendliche Zahlenfolge, die mit 0 und 1 beginnt. Jede weitere Zahl ist die Summe der beiden vorangehenden Zahlen. Diese Folge wurde im Jahr 1202 von Leonardo Fibonacci in seinem Werk "Liber Abaci" beschrieben.

Verwendung des Rechners

Geben Sie den Index (beginnend mit 0) ein und klicken Sie auf 'Rechnen'. Der Rechner verwendet die Binet'sche Formel für eine effiziente Berechnung.

Eigenschaften
  • Wachstum: Exponentielles Wachstum mit Basis φ
  • Verhältnisse: Fₙ₊₁/Fₙ → φ (Goldener Schnitt)
  • Identitäten: Cassini-Identität, Katalan-Identität

Anwendungen und Vorkommen

In der Natur
  • Blütenblätter (Lilien: 3, Butterblumen: 5)
  • Tannenzapfen und Ananas (Spiralen)
  • Sonnenblumenkerne (Spiralmuster)
  • Nautilus-Schneckenhäuser
In der Technik
  • Algorithmen und Datenstrukturen
  • Fibonacci-Heap in der Informatik
  • Optimierung und Suchalgorithmen
  • Pseudo-Zufallszahlengenerierung
In Kunst und Architektur
  • Goldener Schnitt in Gemälden
  • Architektonische Proportionen
  • Musikkomposition und Harmonielehre
  • Fotografie (Drittel-Regel)
Interessante Fakten
  • Jede 3. Fibonacci-Zahl ist gerade
  • Summe der ersten n Fibonacci-Zahlen: Fₙ₊₂ - 1
  • Das Kaninchenproblem führte zur Entdeckung
  • Verwandt mit dem Goldenen Schnitt


Weitere Spezial Funktionen

Airy    •   Abgeleitete Airy  •  Bessel I  •  Bessel Ie  •  Bessel J  •  Bessel Je  •  Bessel K  •  Bessel Ke  •  Bessel Y  •  Bessel Ye  •  Bessel Jv  •  Bessel Yv  •  Hankel  •  Fibonacci  •  Fibonacci Tabelle  •  Gamma Funktion  •  Inverse Gamma  •  Log Gamma  •  Digamma  •  Trigamma  •  Logit  •  Sigmoid  •  Derivative Sigmoid  •  Softsign  •  Derivative Softsign  •  Softmax  •  Struve  •  Modifizierte Struve  •  Struve Tabelle  •  Modifizierte Struve Tabelle  •  Riemann Zeta