Bessel-Ye Funktion berechnen

Online Rechner zur exponentiell skalierten Bessel-Funktion Yeᵥ(z) der zweiten Art - Numerisch stabile Neumann-Funktion mit Oszillation

Bessel-Ye Funktion Rechner

Exponentiell skalierte Y-Funktion

Die Yeᵥ(z) oder exponentiell skalierte Bessel-Funktion zeigt numerische Stabilität bei komplexen Argumenten mit Singularität.

Ordnungszahl (ganzzahlig)
Argument der Funktion (z > 0)
X-Achsen Skalierung
Resultat
Yeᵥ(z):

Bessel-Ye Funktionskurve

Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Die exponentiell skalierte Form stabilisiert oszillierende Verhalten bei komplexen Argumenten.

Warum exponentielle Skalierung bei der Y-Funktion?

Die exponentiell skalierte Bessel-Y Funktion löst numerische Herausforderungen bei komplexen Argumenten:

  • Komplexe Argumente: Stabilisiert Im(z) ≠ 0 Bereiche
  • Exponentieller Faktor: Yeᵥ(z) = e^(-|Im(z)|) Yᵥ(z)
  • Numerische Robustheit: Verhindert Über- und Unterläufe
  • Singularitätskontrolle: Handhabung der z=0 Singularität
  • Oszillationserhaltung: Behält charakteristische Welleneigenschaften
  • Algorithmus-Stabilität: Optimierte Implementierungen

Skalierte Neumann-Funktion: Oszillation mit Stabilität

Die exponentiell skalierte Y-Funktion kombiniert Oszillationsverhalten mit numerischer Stabilität:

Standard Yᵥ(z) Probleme
  • Singularität bei z = 0 erschwert Berechnungen
  • Instabilitäten bei komplexen Argumenten
  • Numerische Probleme bei großen |Im(z)|
Yeᵥ(z) Vorteile
  • Kontrollierte Singularität durch Skalierung
  • Stabile Berechnung für komplexe z
  • Erhaltene Oszillationseigenschaften

Formeln zur Bessel-Ye Funktion

Definition
\[Y_e\nu(z) = e^{-|Im(z)|} Y_\nu(z)\]

Exponentiell skalierte Bessel-Funktion zweiter Art

Beziehung zu Yᵥ
\[Y_\nu(z) = e^{|Im(z)|} Y_e\nu(z)\]

Umkehrung der Skalierung

Asymptotische Form
\[Y_e\nu(z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} \sin\left(z - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right) e^{-|Im(z)|}\]

Für große z (skalierte Oszillation)

Rekursionsformeln
\[\frac{2\nu}{z} Y_e\nu(z) = Y_e{\nu-1}(z) + Y_e{\nu+1}(z)\] \[\frac{d}{dz} Y_e\nu(z) = \frac{1}{2}[Y_e{\nu-1}(z) - Y_e{\nu+1}(z)]\]

Gleiche Rekursionsrelationen wie Standard-Y-Funktionen

Wronskische Determinante
\[W[J_e\nu, Y_e\nu] = \frac{2}{\pi z}\]

Lineare Unabhängigkeit mit skalierten J-Funktionen

Symmetrieeigenschaft
\[Y_e{-n}(z) = (-1)^n Y_e n(z)\]

Für ganzzahlige n

Verhalten bei z → 0
\[Y_e\nu(z) \sim -\frac{\Gamma(\nu)}{\pi} \left(\frac{2}{z}\right)^\nu\]

Skalierte Singularität im Ursprung

Spezielle Werte

Wichtige Werte
Ye₀(1) ≈ 0.088 Ye₁(1) ≈ -0.781 Ye₀(π) ≈ 0.304
Symmetrieeigenschaften
Y_e{-n}(z) = (-1)^n Y_e n(z)

Für ganzzahlige n

Singularität bei z = 0
\[\lim_{z \to 0^+} Y_e\nu(z) = -\infty\]

Für alle ν > 0 (skaliert)

Verhalten bei z → ∞
\[Y_e\nu(z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} \sin(...)\]

Skalierte Oszillation

Anwendungsgebiete

Komplexe Analysen, numerische Stabilität, skalierte Strahlungsprobleme, robuste Algorithmen.

Bessel-Ye vs. Bessel-Y Vergleich

Bessel-Ye Funktionen
Bessel-Ye Funktionen (Ordnung 0,1,2)

Die exponentiell skalierten Y-Funktionen zeigen kontrollierte Singularitäten und stabile Oszillationen ohne numerische Instabilitäten bei komplexen Argumenten.

Charakteristische Eigenschaften
  • Yeᵥ(z) → -∞ für z → 0⁺ (kontrollierte Singularität)
  • Ye₀(z) ~ -(2/π) ln(z) für kleine z
  • Asymptotisch: ~ √(2/πz) sin(...) e^(-|Im(z)|)
  • Numerisch stabil für komplexe Argumente

Ausführliche Beschreibung der Bessel-Ye Funktion

Mathematische Definition

Die exponentiell skalierte Bessel-Funktion zweiter Art Yeᵥ(z) ist eine numerisch stabilisierte Version der Neumann-Funktion. Sie wurde entwickelt, um die numerischen Herausforderungen bei komplexen Argumenten und der charakteristischen Singularität zu bewältigen.

Definition: Yeᵥ(z) = e^(-|Im(z)|) Yᵥ(z)
Verwendung des Rechners

Geben Sie die Ordnungszahl ν (ganze Zahl) und das Argument z (positive reelle Zahl) ein. Die Ye-Version ist besonders für numerische Stabilität und komplexe Analysen geeignet.

Numerischer Hintergrund

Die exponentiell skalierte Y-Funktion wurde entwickelt, um die inhärenten numerischen Schwierigkeiten der Neumann-Funktion zu lösen, insbesondere die Kombination aus Singularität bei z = 0 und oszillierendem Verhalten bei komplexen Argumenten.

Eigenschaften und Anwendungen

Numerische Anwendungen
  • Komplexe Analysen mit stabiler Singularitätsbehandlung
  • Strahlungsprobleme mit exponentieller Stabilisierung
  • Wissenschaftliches Computing bei komplexen Parametern
  • Robuste Algorithmen für oszillierende Systeme
Mathematische Eigenschaften
  • Kontrollierte Singularität durch exponentielle Skalierung
  • Oszillierendes Verhalten mit stabiler Amplitude
  • Lineare Unabhängigkeit von skalierten J-Funktionen
  • 90° Phasenverschiebung zu entsprechenden Je-Funktionen
Implementierungsaspekte
  • Bibliotheken: Standard in modernen Math-Libraries
  • Stabilität: Robuste Berechnung bei komplexen z
  • Performance: Optimierte Algorithmen verfügbar
  • Genauigkeit: Erhaltene Präzision in kritischen Bereichen
Interessante Fakten
  • Ye-Funktionen sind essentiell für numerisch stabile Hankel-Funktionen
  • Die Skalierung eliminiert Probleme bei großen |Im(z)|-Werten
  • Wichtig in der numerischen Lösung von Streuungsproblemen
  • Ermöglicht stabile Berechnung von Green'schen Funktionen

Berechnungsbeispiele und Skalierungsvergleiche

Kleines Argument

z = 0.5:

Y₀(0.5) ≈ -0.445

Ye₀(0.5) ≈ -0.445

Mittleres Argument

z = 5:

Y₀(5) ≈ -0.309

Ye₀(5) ≈ -0.309

Komplexes Argument

z = 1 + 10i:

Y₀(z) → numerische Probleme

Ye₀(z) → stabile Berechnung

Numerische Stabilität im Detail

Standard Yᵥ(z) Herausforderungen

Komplexe Argumente:

Y₀(1 + 10i) → exponentielles Wachstum

Y₀(10 + 10i) → Overflow-Gefahr

Singularität bei z = 0 verstärkt Probleme

Problem: Exponentielles Wachstum bei großen |Im(z)|.

Yeᵥ(z) Stabilisierung

Kontrolliertes Verhalten:

Ye₀(1 + 10i) → stabile Berechnung

Ye₀(10 + 10i) → kontrollierte Werte

Skalierte Singularität handhabbar

Vorteil: Stabile Berechnung für alle komplexen Argumente.

Physikalische Anwendungen mit Skalierung

Skalierte Strahlungsprobleme

Komplexe Wellenausbreitung:

H_scaled(r,φ) = A Ye_m(kr) e^(imφ)

Numerisch stabil für dämpfende Medien

Vorteil: Stabile Berechnung auch bei starker Dämpfung.

Green'sche Funktionen

Skalierte Green-Funktionen:

G_scaled(r,r') ∝ Ye₀(k|r-r'|)

Robuste numerische Implementierung

Anwendung: Numerisch stabile Randintegralgleichungen.

Numerische Berechnung und Algorithmen

Berechnungsmethoden
  • Series Expansion: Für mittlere z (skalierte Koeffizienten)
  • Asymptotic Expansion: Für große z (vereinfacht durch Skalierung)
  • Recurrence Relations: Stabil für alle z-Bereiche
  • Miller's Algorithm: Angepasst für skalierte Versionen
Software-Implementierungen
  • GNU GSL: Optimierte Ye-Funktionen
  • Boost Math: C++ Template-Bibliothek mit Skalierung
  • SciPy: Python scipy.special.yve
  • MATLAB: Built-in bessely mit Scaling-Option


Weitere Spezial Funktionen

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