Bessel-Ye Funktion berechnen
Online Rechner zur exponentiell skalierten Bessel-Funktion Yeᵥ(z) der zweiten Art - Numerisch stabile Neumann-Funktion mit Oszillation
Bessel-Ye Funktion Rechner
Exponentiell skalierte Y-Funktion
Die Yeᵥ(z) oder exponentiell skalierte Bessel-Funktion zeigt numerische Stabilität bei komplexen Argumenten mit Singularität.
Bessel-Ye Funktionskurve
Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Die exponentiell skalierte Form stabilisiert oszillierende Verhalten bei komplexen Argumenten.
Warum exponentielle Skalierung bei der Y-Funktion?
Die exponentiell skalierte Bessel-Y Funktion löst numerische Herausforderungen bei komplexen Argumenten:
- Komplexe Argumente: Stabilisiert Im(z) ≠ 0 Bereiche
- Exponentieller Faktor: Yeᵥ(z) = e^(-|Im(z)|) Yᵥ(z)
- Numerische Robustheit: Verhindert Über- und Unterläufe
- Singularitätskontrolle: Handhabung der z=0 Singularität
- Oszillationserhaltung: Behält charakteristische Welleneigenschaften
- Algorithmus-Stabilität: Optimierte Implementierungen
Skalierte Neumann-Funktion: Oszillation mit Stabilität
Die exponentiell skalierte Y-Funktion kombiniert Oszillationsverhalten mit numerischer Stabilität:
Standard Yᵥ(z) Probleme
- Singularität bei z = 0 erschwert Berechnungen
- Instabilitäten bei komplexen Argumenten
- Numerische Probleme bei großen |Im(z)|
Yeᵥ(z) Vorteile
- Kontrollierte Singularität durch Skalierung
- Stabile Berechnung für komplexe z
- Erhaltene Oszillationseigenschaften
Formeln zur Bessel-Ye Funktion
Definition
Exponentiell skalierte Bessel-Funktion zweiter Art
Beziehung zu Yᵥ
Umkehrung der Skalierung
Asymptotische Form
Für große z (skalierte Oszillation)
Rekursionsformeln
Gleiche Rekursionsrelationen wie Standard-Y-Funktionen
Wronskische Determinante
Lineare Unabhängigkeit mit skalierten J-Funktionen
Symmetrieeigenschaft
Für ganzzahlige n
Verhalten bei z → 0
Skalierte Singularität im Ursprung
Spezielle Werte
Wichtige Werte
Symmetrieeigenschaften
Für ganzzahlige n
Singularität bei z = 0
Für alle ν > 0 (skaliert)
Verhalten bei z → ∞
Skalierte Oszillation
Anwendungsgebiete
Komplexe Analysen, numerische Stabilität, skalierte Strahlungsprobleme, robuste Algorithmen.
Bessel-Ye vs. Bessel-Y Vergleich

Bessel-Ye Funktionen (Ordnung 0,1,2)
Die exponentiell skalierten Y-Funktionen zeigen kontrollierte Singularitäten und stabile Oszillationen ohne numerische Instabilitäten bei komplexen Argumenten.
Charakteristische Eigenschaften
- Yeᵥ(z) → -∞ für z → 0⁺ (kontrollierte Singularität)
- Ye₀(z) ~ -(2/π) ln(z) für kleine z
- Asymptotisch: ~ √(2/πz) sin(...) e^(-|Im(z)|)
- Numerisch stabil für komplexe Argumente
Ausführliche Beschreibung der Bessel-Ye Funktion
Mathematische Definition
Die exponentiell skalierte Bessel-Funktion zweiter Art Yeᵥ(z) ist eine numerisch stabilisierte Version der Neumann-Funktion. Sie wurde entwickelt, um die numerischen Herausforderungen bei komplexen Argumenten und der charakteristischen Singularität zu bewältigen.
Verwendung des Rechners
Geben Sie die Ordnungszahl ν (ganze Zahl) und das Argument z (positive reelle Zahl) ein. Die Ye-Version ist besonders für numerische Stabilität und komplexe Analysen geeignet.
Numerischer Hintergrund
Die exponentiell skalierte Y-Funktion wurde entwickelt, um die inhärenten numerischen Schwierigkeiten der Neumann-Funktion zu lösen, insbesondere die Kombination aus Singularität bei z = 0 und oszillierendem Verhalten bei komplexen Argumenten.
Eigenschaften und Anwendungen
Numerische Anwendungen
- Komplexe Analysen mit stabiler Singularitätsbehandlung
- Strahlungsprobleme mit exponentieller Stabilisierung
- Wissenschaftliches Computing bei komplexen Parametern
- Robuste Algorithmen für oszillierende Systeme
Mathematische Eigenschaften
- Kontrollierte Singularität durch exponentielle Skalierung
- Oszillierendes Verhalten mit stabiler Amplitude
- Lineare Unabhängigkeit von skalierten J-Funktionen
- 90° Phasenverschiebung zu entsprechenden Je-Funktionen
Implementierungsaspekte
- Bibliotheken: Standard in modernen Math-Libraries
- Stabilität: Robuste Berechnung bei komplexen z
- Performance: Optimierte Algorithmen verfügbar
- Genauigkeit: Erhaltene Präzision in kritischen Bereichen
Interessante Fakten
- Ye-Funktionen sind essentiell für numerisch stabile Hankel-Funktionen
- Die Skalierung eliminiert Probleme bei großen |Im(z)|-Werten
- Wichtig in der numerischen Lösung von Streuungsproblemen
- Ermöglicht stabile Berechnung von Green'schen Funktionen
Berechnungsbeispiele und Skalierungsvergleiche
Kleines Argument
z = 0.5:
Y₀(0.5) ≈ -0.445
Ye₀(0.5) ≈ -0.445
Mittleres Argument
z = 5:
Y₀(5) ≈ -0.309
Ye₀(5) ≈ -0.309
Komplexes Argument
z = 1 + 10i:
Y₀(z) → numerische Probleme
Ye₀(z) → stabile Berechnung
Numerische Stabilität im Detail
Standard Yᵥ(z) Herausforderungen
Komplexe Argumente:
Y₀(1 + 10i) → exponentielles Wachstum
Y₀(10 + 10i) → Overflow-Gefahr
Singularität bei z = 0 verstärkt Probleme
Problem: Exponentielles Wachstum bei großen |Im(z)|.
Yeᵥ(z) Stabilisierung
Kontrolliertes Verhalten:
Ye₀(1 + 10i) → stabile Berechnung
Ye₀(10 + 10i) → kontrollierte Werte
Skalierte Singularität handhabbar
Vorteil: Stabile Berechnung für alle komplexen Argumente.
Physikalische Anwendungen mit Skalierung
Skalierte Strahlungsprobleme
Komplexe Wellenausbreitung:
H_scaled(r,φ) = A Ye_m(kr) e^(imφ)
Numerisch stabil für dämpfende Medien
Vorteil: Stabile Berechnung auch bei starker Dämpfung.
Green'sche Funktionen
Skalierte Green-Funktionen:
G_scaled(r,r') ∝ Ye₀(k|r-r'|)
Robuste numerische Implementierung
Anwendung: Numerisch stabile Randintegralgleichungen.
Numerische Berechnung und Algorithmen
Berechnungsmethoden
- Series Expansion: Für mittlere z (skalierte Koeffizienten)
- Asymptotic Expansion: Für große z (vereinfacht durch Skalierung)
- Recurrence Relations: Stabil für alle z-Bereiche
- Miller's Algorithm: Angepasst für skalierte Versionen
Software-Implementierungen
- GNU GSL: Optimierte Ye-Funktionen
- Boost Math: C++ Template-Bibliothek mit Skalierung
- SciPy: Python scipy.special.yve
- MATLAB: Built-in bessely mit Scaling-Option