Trigamma Funktion berechnen

Online Rechner und Formeln zur Berechnung der Trigamma Funktion (zweite Ableitung der Digamma Funktion)

Trigamma Funktion Rechner

Verwendung des Rechners

Geben Sie das Argument x ein und klicken Sie auf 'Rechnen'. Die Funktion hat Pole bei x = 0, -1, -2, -3, ... und ist für x > 0 streng monoton fallend.

Reelle Zahl ≠ 0, -1, -2, -3, ... für die Trigamma Funktion
Resultat
ψ'(x):

Trigamma Funktionskurve

Trigamma (Polygamma) Funktion

Die ψ'(x) oder Trigamma-Funktion ist die zweite Ableitung des Logarithmus der Gamma-Funktion und eine wichtige Polygamma-Funktion.

Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Die Trigamma-Funktion hat Pole bei x = 0, -1, -2, -3, ... und ist streng monoton fallend für x > 0.

Formeln zur Trigamma Funktion

Definition
\[\psi'(x) = \frac{d^2}{dx^2} \ln \Gamma(x) = \frac{d}{dx} \psi(x)\]

Zweite Ableitung des Logarithmus der Gamma-Funktion

Rekursionsformel
\[\psi'(x+1) = \psi'(x) - \frac{1}{x^2}\]

Grundlegende Rekursionsbeziehung

Reihenentwicklung
\[\psi'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(x+n)^2}\]

Für Re(x) > 0

Integraldarstellung
\[\psi'(x) = \int_0^{\infty} \frac{t e^{-xt}}{1-e^{-t}} dt\]

Für Re(x) > 0

Asymptotische Entwicklung
\[\psi'(x) \sim \frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{6x^3} + ...\]

Für große |x|

Polygamma Verallgemeinerung
\[\psi^{(n)}(x) = (-1)^{n+1} n! \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(x+k)^{n+1}}\]

Trigamma ist der Fall n = 1

Eigenschaften

Spezielle Werte
ψ'(1) = π²/6 ψ'(1/2) = π²/2 ψ'(2) = π²/6 - 1
Monotonie
Streng monoton fallend

für x > 0

Konvexität
\[\psi'(x) > 0 \text{ für alle } x > 0\]

Immer positiv für positive Argumente

Anwendung

Statistische Physik, Zahlentheorie, asymptotische Analysis und Quantenmechanik.

Ausführliche Beschreibung der Trigamma Funktion

Mathematische Definition

Die Trigamma-Funktion ist die zweite Ableitung des Logarithmus der Gamma-Funktion und gehört zur Familie der Polygamma-Funktionen. Sie ist eng verwandt mit der Digamma-Funktion und spielt eine wichtige Rolle in der Analysis und mathematischen Physik.

Definition: ψ'(x) = d²/dx² [ln Γ(x)] = d/dx [ψ(x)]
Historischer Hintergrund

Die Trigamma-Funktion wurde systematisch von Euler und später von Gauss studiert. Der Name leitet sich vom griechischen "tri" (drei) ab, da sie die dritte in der Hierarchie der Gamma-verwandten Funktionen ist (nach Gamma und Digamma).

Besondere Eigenschaften
  • Monotonie: Streng monoton fallend für x > 0
  • Positivität: ψ'(x) > 0 für alle x > 0
  • Pole: Pole zweiter Ordnung bei x = 0, -1, -2, ...
  • Asymptotik: ψ'(x) ~ 1/x für große x

Eigenschaften und Anwendungen

Mathematische Anwendungen
  • Asymptotische Entwicklungen und Stirling-Formeln
  • Analytische Zahlentheorie (L-Funktionen)
  • Harmonische Zahlen und Riemann-Zeta-Funktion
  • Unendliche Reihen und Integrale
Physikalische Anwendungen
  • Statistische Physik (Fluktuationstheorie)
  • Quantenmechanik (Energieniveaus)
  • Kondensierte Materie (kritische Phänomene)
  • Mathematische Physik (Pfadintegrale)
Interessante Fakten
  • ψ'(1) = π²/6 (verwandt mit der Riemann-Zeta-Funktion ζ(2))
  • Verbindung zu harmonischen Zahlen: ψ'(n+1) = ζ(2) - H_n^{(2)}
  • Wichtig für die Varianz von Gamma-verteilten Zufallsvariablen
  • Tritt in der Quantenfeldtheorie bei Loop-Berechnungen auf

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1

ψ'(1) = π²/6 ≈ 1.6449

Berühmter Wert, verwandt mit ζ(2)

Beispiel 2

ψ'(1/2) = π²/2 ≈ 4.9348

Halbzahliger Wert

Beispiel 3

ψ'(2) = π²/6 - 1 ≈ 0.6449

Rekursive Beziehung

Verbindungen zu anderen Funktionen

Riemann-Zeta-Funktion

Die Trigamma-Funktion ist eng mit der Riemann-Zeta-Funktion verbunden:

\[\psi'(1) = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}\]

Diese Verbindung macht sie wichtig für die analytische Zahlentheorie.

Harmonische Zahlen

Zusammenhang mit generalisierten harmonischen Zahlen:

\[\psi'(n+1) = \zeta(2) - H_n^{(2)}\]

Wobei H_n^{(2)} die harmonischen Zahlen zweiter Ordnung sind.

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