Bessel-Y Funktion berechnen

Online Rechner zur Bessel-Funktion Yᵥ(z) der zweiten Art - Neumann-Funktion für oszillierende zylindrische Wellenlösungen

Bessel-Y Funktion Rechner

Bessel-Funktion zweiter Art

Die Yᵥ(z) oder Neumann-Funktion zeigt singuläres Verhalten bei z = 0 und ergänzt die J-Funktion als vollständiges Lösungssystem.

Ordnungszahl (ganzzahlig)
Argument der Funktion (z > 0)
X-Achsen Skalierung
Resultat
Yᵥ(z):

Bessel-Y Funktionskurve

Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Die Y-Funktion zeigt charakteristische Singularität bei z = 0 und oszilliert für große z.

Warum ist die Y-Funktion bei z = 0 singulär?

Die Bessel-Funktion zweiter Art ergänzt die J-Funktion zu einem vollständigen Lösungssystem:

  • Lineare Unabhängigkeit: Yᵥ(z) ist linear unabhängig von Jᵥ(z)
  • Vollständiges System: y = C₁Jᵥ(z) + C₂Yᵥ(z)
  • Singularität notwendig: Ohne Singularität wäre System unvollständig
  • Physikalische Bedeutung: Beschreibt auslaufende Wellen
  • Randbedingungen: Wichtig für äußere Probleme
  • Asymptotik: Yᵥ(z) ~ √(2/πz) sin(z - πν/2 - π/4)

Anwendungen der Neumann-Funktion

Die Bessel-Y Funktion ist essential für äußere Randwertprobleme und Wellenausbreitung:

Strahlungsprobleme
  • Antennenabstrahlung in den freien Raum
  • Elektromagnetische Wellenausbreitung
  • Akustische Abstrahlung von Quellen
Äußere Gebiete
  • Streuung an zylindrischen Objekten
  • Fernfeldapproximationen
  • Unendliche Domänen-Probleme

Formeln zur Bessel-Y Funktion

Definition (Neumann)
\[Y_\nu(z) = \frac{J_\nu(z) \cos(\nu \pi) - J_{-\nu}(z)}{\sin(\nu \pi)}\]

Definition über Bessel-Funktionen erster Art

Für ganzzahlige n
\[Y_n(z) = \lim_{\nu \to n} Y_\nu(z)\]

Grenzwertdefinition für ganzzahlige Ordnungen

Asymptotische Form
\[Y_\nu(z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} \sin\left(z - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\]

Für große z (oszillierendes Verhalten)

Rekursionsformeln
\[\frac{2\nu}{z} Y_\nu(z) = Y_{\nu-1}(z) + Y_{\nu+1}(z)\] \[\frac{d}{dz} Y_\nu(z) = \frac{1}{2}[Y_{\nu-1}(z) - Y_{\nu+1}(z)]\]

Gleiche Rekursionsrelationen wie J-Funktionen

Wronskische Determinante
\[W[J_\nu, Y_\nu] = J_\nu Y_\nu' - J_\nu' Y_\nu = \frac{2}{\pi z}\]

Beweist lineare Unabhängigkeit von Jᵥ und Yᵥ

Symmetrieeigenschaft
\[Y_{-n}(z) = (-1)^n Y_n(z)\]

Für ganzzahlige n

Verhalten bei z → 0
\[Y_\nu(z) \sim -\frac{\Gamma(\nu)}{\pi} \left(\frac{2}{z}\right)^\nu\]

Singularität im Ursprung für ν > 0

Spezielle Werte

Wichtige Werte
Y₀(1) ≈ 0.088 Y₁(1) ≈ -0.781 Y₀(π) ≈ 0.304
Symmetrieeigenschaften
Y_{-n}(z) = (-1)^n Y_n(z)

Für ganzzahlige n

Singularität bei z = 0
\[\lim_{z \to 0^+} Y_\nu(z) = -\infty\]

Für alle ν > 0

Verhalten bei z → ∞
\[Y_\nu(z) \sim \sqrt{\frac{2}{\pi z}} \sin(...)\]

Oszillierendes Verhalten

Anwendungsgebiete

Strahlungsprobleme, Streuung, äußere Randbedingungen, Wellenausbreitung.

Bessel-Y Oszillationsmuster mit Singularität

Bessel-Y Funktionen
Bessel-Y Funktionen (Ordnung 0,1,2)

Die Y-Funktionen zeigen charakteristische Singularitäten bei z = 0 und oszillierendes Verhalten für große z mit Phasenverschub gegenüber J-Funktionen.

Charakteristische Eigenschaften
  • Yᵥ(z) → -∞ für z → 0⁺ (ν > 0)
  • Y₀(z) ~ -(2/π) ln(z) für kleine z
  • Asymptotisch: ~ √(2/πz) sin(...)
  • 90° Phasenverschiebung zu J-Funktionen

Ausführliche Beschreibung der Bessel-Y Funktion

Mathematische Definition

Die Bessel-Funktion zweiter Art Yᵥ(z), auch bekannt als Neumann-Funktion, ist die zweite linear unabhängige Lösung der Bessel-Differentialgleichung. Sie zeigt singuläres Verhalten bei z = 0 und vervollständigt zusammen mit Jᵥ(z) das fundamentale Lösungssystem.

Fundamentale Eigenschaft: Yᵥ(z) ist linear unabhängig von Jᵥ(z)
Verwendung des Rechners

Geben Sie die Ordnungszahl ν (ganze Zahl) und das Argument z (positive reelle Zahl) ein. Der Grafik-Stretch Parameter steuert die X-Achsen-Skalierung für optimale Oszillationsdarstellung.

Historischer Hintergrund

Die Y-Funktionen wurden von Carl Neumann (1832-1925) systematisch untersucht, weshalb sie auch Neumann-Funktionen genannt werden. Sie sind essentiell für die vollständige Beschreibung physikalischer Systeme mit zylindrischer Symmetrie.

Eigenschaften und Anwendungen

Physikalische Anwendungen
  • Antennenabstrahlung und elektromagnetische Wellenausbreitung
  • Akustische Abstrahlung von zylindrischen Quellen
  • Streuung an zylindrischen Objekten (äußeres Gebiet)
  • Fernfeldapproximationen in der Wellentheorie
Mathematische Eigenschaften
  • Oszillierendes Verhalten mit dämpfender Amplitude
  • Singularität bei z = 0 für alle ν ≥ 0
  • Lineare Unabhängigkeit von Jᵥ(z)
  • 90° Phasenverschiebung gegenüber J-Funktionen
Numerische Aspekte
  • Stabilität: Numerisch herausfordernd nahe z = 0
  • Algorithmen: Spezielle Methoden für kleine z-Werte
  • Genauigkeit: Hohe Präzision für z > 0.1
  • Effizienz: Rekursionsformeln für benachbarte Ordnungen
Interessante Fakten
  • Y₀(z) beschreibt das logarithmische Potential in 2D-Systemen
  • Die Nullstellen liegen zwischen denen der entsprechenden J-Funktionen
  • Y-Funktionen sind essentiell für die Green'schen Funktionen
  • Sie beschreiben auslaufende Wellen in der Streutheorie

Berechnungsbeispiele und Singularitätsverhalten

Kleines Argument

z = 0.1:

Y₀(0.1) ≈ -1.534

Y₁(0.1) ≈ -6.459

Mittleres Argument

z = 2:

Y₀(2) ≈ 0.510

Y₁(2) ≈ -0.107

Großes Argument

z = 20:

Y₀(20) ≈ -0.066

Asymptotisches Verhalten

Physikalische Anwendungen im Detail

Antennenabstrahlung

Zylindrische Antennen:

H(r,φ,z) = [AJ_m(kr) + BY_m(kr)] e^(imφ) e^(ikz)

Y-Term für auslaufende Wellen

Beispiel: Dipolantenne mit zylindrischer Abstrahlcharakteristik.

Streuprobleme

Zylinderstreuung:

ψ_scattered ∝ Y_m(kr) e^(imφ)

Für große Entfernungen vom Streuer

Beispiel: Elektromagnetische Streuung an leitfähigen Zylindern.

Mathematische Eigenschaften und Relationen

Asymptotisches Verhalten

Für große z:

Yᵥ(z) ~ √(2/πz) sin(z - πν/2 - π/4)

Für kleine z (ν > 0):

Yᵥ(z) ~ -Γ(ν)/π (2/z)^ν

Besonderheit: Y₀(z) ~ -(2/π) ln(z) für kleine z.

Beziehungen zu anderen Funktionen

Wronskische Determinante:

W[Jᵥ, Yᵥ] = 2/(πz)

Beziehung zu Hankel-Funktionen:

H^(1)_ν(z) = Jᵥ(z) + iYᵥ(z)

Bedeutung: Fundamentales Lösungssystem mit Jᵥ(z).

Spezielle Ordnungen und Grenzfälle

Ordnung ν = 0

Y₀(z) - Fundamentallösung:

\[Y_0(z) = \frac{2}{\pi} \left[J_0(z) \ln\left(\frac{z}{2}\right) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n H_n}{n!^2} \left(\frac{z}{2}\right)^{2n}\right]\]

Logarithmische Singularität bei z = 0

Anwendung: 2D-Probleme, logarithmische Potentiale.

Ordnung ν = 1

Y₁(z) - Erste Ableitung:

\[Y_1(z) = -\frac{d}{dz} Y_0(z)\]

Wichtig für Gradientenprobleme

Anwendung: Dipolstrahlungscharakteristik.

Numerische Berechnung und Algorithmen

Berechnungsmethoden
  • Series Expansion: Für mittlere z (vorsichtig bei z → 0)
  • Asymptotic Expansion: Für große z ≥ 25
  • Recurrence Relations: Für benachbarte Ordnungen
  • Miller's Algorithm: Für stabile Rückwärtsrekursion
Software-Implementierungen
  • GNU GSL: Hochpräzise Y-Funktionen
  • Boost Math: C++ Template-Bibliothek
  • SciPy: Python scipy.special.yn
  • MATLAB: Built-in bessely Funktion

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