Log Gamma Funktion berechnen

Online Rechner und Formeln zur Berechnung der logarithmischen Gamma Funktion ln Γ(x)

Log Gamma Funktion Rechner

Logarithmische Gamma Funktion

Die ln Γ(x) oder Log-Gamma-Funktion ist der natürliche Logarithmus der Gamma-Funktion und numerisch stabiler für große Argumente.

Reelle Zahl > 0 für die Log-Gamma Funktion
Resultat
ln Γ(x):

Log Gamma Funktionskurve

Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Die Log-Gamma-Funktion wächst langsamer als die Gamma-Funktion und ist numerisch stabiler.

Formeln zur Log Gamma Funktion

Definition
\[\ln \Gamma(x) = \log(\Gamma(x))\]

Natürlicher Logarithmus der Gamma-Funktion

Stirling-Approximation
\[\ln \Gamma(x) \approx x \ln x - x + \frac{1}{2} \ln(2\pi x)\]

Für große x

Rekursionsformel
\[\ln \Gamma(x+1) = \ln \Gamma(x) + \ln x\]

Logarithmische Rekursion

Integraldarstellung
\[\ln \Gamma(x) = \int_0^{\infty} \left[e^{-t} t^{x-1}\right] \frac{dt}{t}\]

Für Re(x) > 0

Vollständige Stirling-Formel
\[\ln \Gamma(z) = \left(z - \frac{1}{2}\right) \ln z - z + \frac{1}{2} \ln(2\pi) + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}\]

Mit Bernoulli-Zahlen B₂ₙ

Eigenschaften

Spezielle Werte
ln Γ(1) = 0 ln Γ(2) = 0 ln Γ(1/2) = ln√π
Numerische Stabilität
Stabiler als Γ(x)

Vermeidet Overflow bei großen x

Konvexität
\[\ln \Gamma(x) \text{ ist konvex}\]

für x > 0

Anwendung

Statistik, Wahrscheinlichkeitstheorie, numerische Mathematik und Computerwissenschaften.

Ausführliche Beschreibung der Log Gamma Funktion

Mathematische Definition

Die Log-Gamma-Funktion ist der natürliche Logarithmus der Eulerschen Gamma-Funktion. Sie ist besonders wichtig in der numerischen Mathematik, da sie numerisch stabiler ist als die Gamma-Funktion selbst für große Argumente.

Definition: ln Γ(x) = log(Γ(x))
Verwendung des Rechners

Geben Sie das Argument x ein und klicken Sie auf 'Rechnen'. Die Funktion ist für x > 0 definiert und besonders nützlich für große Werte.

Numerische Vorteile

Die Log-Gamma-Funktion wurde entwickelt, um Overflow-Probleme zu vermeiden, die bei der direkten Berechnung der Gamma-Funktion für große Argumente auftreten. Sie wird häufig in der Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet.

Eigenschaften und Anwendungen

Mathematische Anwendungen
  • Numerische Berechnung von Fakultäten
  • Statistische Verteilungen (Beta, Gamma)
  • Bayessche Statistik und Machine Learning
  • Asymptotische Entwicklungen
Physikalische Anwendungen
  • Statistische Mechanik (Entropieberechnung)
  • Quantenmechanik (Wellenfunktionen)
  • Thermodynamik (Zustandssummen)
  • Kernphysik (Zerfallsprozesse)
Besondere Eigenschaften
  • Konvexität: ln Γ(x) ist konvex für x > 0
  • Monotonie: Streng monoton wachsend für x > x₀ ≈ 1.46
  • Asymptotik: Stirling-Approximation für große x
  • Stabilität: Numerisch robust bei großen Argumenten
Interessante Fakten
  • ln Γ(x) hat ein globales Minimum bei x ≈ 1.46163
  • Die Stirling-Formel liefert exzellente Approximationen
  • Wichtig für die Berechnung von Binomialkoeffizienten
  • Zentral in der modernen statistischen Software

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1

ln Γ(1) = 0

Da Γ(1) = 1 und ln(1) = 0

Beispiel 2

ln Γ(1/2) = ln(√π) ≈ 0.5724

Halbzahliger Wert

Beispiel 3

ln Γ(10) ≈ 12.80

Für große Argumente numerisch stabil

Stirling-Formel und Asymptotik

Asymptotische Entwicklung

Für große x liefert die Stirling-Formel eine ausgezeichnete Approximation:

\[\ln \Gamma(x) \approx \left(x - \frac{1}{2}\right) \ln x - x + \frac{1}{2} \ln(2\pi) + O\left(\frac{1}{x}\right)\]

Diese Formel ist besonders nützlich in der statistischen Inferenz und bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten großer Stichproben.


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