Digamma Funktion berechnen

Online Rechner und Formeln zur Berechnung der Digamma Funktion (Psi-Funktion)

Digamma Funktion Rechner

Digamma (Psi) Funktion

Die ψ(x) oder Digamma-Funktion ist die logarithmische Ableitung der Gamma-Funktion und eine wichtige spezielle Funktion.

Reelle Zahl > 0 für die Digamma Funktion
Resultat
ψ(x):

Digamma Funktionskurve

Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Die Digamma-Funktion hat Pole bei negativen ganzen Zahlen.

Formeln zur Digamma Funktion

Definition
\[\psi(x) = \frac{d}{dx} \ln(\Gamma(x)) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\]

Logarithmische Ableitung der Gamma-Funktion

Rekursionsformel
\[\psi(x+1) = \psi(x) + \frac{1}{x}\]

Grundlegende Rekursionsbeziehung

Integraldarstellung
\[\psi(x) = -\gamma + \int_0^1 \frac{1-t^{x-1}}{1-t} dt\]

γ ist die Euler-Mascheroni-Konstante

Reflexionsformel
\[\psi(1-x) - \psi(x) = \pi \cot(\pi x)\]

Symmetriebeziehung

Spezielle Werte

Wichtige Werte
ψ(1) = -γ ψ(2) = 1-γ ψ(1/2) = -γ-2ln(2)
Euler-Mascheroni-Konstante
γ ≈ 0.5772156649

Die fundamentale mathematische Konstante

Asymptotik
\[\psi(x) \sim \ln(x) - \frac{1}{2x}\]

für große x

Ausführliche Beschreibung der Digamma Funktion

Mathematische Definition

Die Digamma-Funktion, auch als Psi-Funktion bezeichnet, ist die logarithmische Ableitung der Gamma-Funktion. Sie spielt eine zentrale Rolle in der analytischen Zahlentheorie und bei speziellen Funktionen.

Definition: ψ(x) = d/dx [ln Γ(x)] = Γ'(x)/Γ(x)
Verwendung des Rechners

Geben Sie das Argument x ein und klicken Sie auf 'Rechnen'. Die Funktion hat Pole bei x = 0, -1, -2, -3, ...

Historischer Hintergrund

Die Digamma-Funktion wurde systematisch von Euler und später von Legendre studiert. Der Name "Digamma" stammt vom altgriechischen Buchstaben Ϝ (Digamma), der wie die moderne Form ψ aussieht.

Eigenschaften und Anwendungen

Mathematische Anwendungen
  • Analytische Zahlentheorie (Riemann-Zeta-Funktion)
  • Asymptotische Entwicklungen und Stirling-Formel
  • Hypergeometrische Funktionen
  • Harmonische Zahlen und Euler-Summen
Physikalische Anwendungen
  • Quantenfeldtheorie (Renormierung)
  • Statistische Mechanik (Verteilungsfunktionen)
  • Kondensierte Materie (kritische Phänomene)
  • Mathematische Physik (Integralgleichungen)
Besondere Eigenschaften
  • Pole: Bei x = 0, -1, -2, -3, ... mit Residuum -1
  • Monotonie: Streng monoton wachsend für x > 0
  • Konvexität: Konvex für x > 0
  • Duplication Formula: Spezielle Identitäten
Interessante Fakten
  • ψ(x) ist die einzige meromorphe Funktion mit den Residuen -1 bei negativen ganzen Zahlen
  • Verbindung zu harmonischen Zahlen: ψ(n+1) = -γ + H_n
  • Die Trigamma-Funktion ist die Ableitung der Digamma-Funktion
  • Wichtig für die Berechnung von Beta- und Zeta-Funktionen

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1

ψ(1) = -γ ≈ -0.5772

Die negative Euler-Mascheroni-Konstante

Beispiel 2

ψ(2) = 1 - γ ≈ 0.4228

Wichtiger Spezialfall für natürliche Zahlen

Beispiel 3

ψ(1/2) = -γ - 2ln(2) ≈ -1.9635

Halbzahliger Wert mit logarithmischem Term


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