Derivative Sigmoid Funktion berechnen

Online Rechner zur Berechnung der Ableitung der Sigmoid Funktion - Essentiell für Backpropagation in neuronalen Netzen

Sigmoid Ableitung Rechner

Sigmoid Ableitung

Die σ'(x) oder Sigmoid-Ableitung ist essentiell für Gradient Descent und Backpropagation in neuronalen Netzen.

Jede reelle Zahl (-∞ bis +∞)
Resultat
σ'(x):

Glockenförmige Ableitungskurve

Sigmoid Ableitung Kurve

Die Kurve der derivativen Sigmoidfunktion: Glockenförmiger Verlauf mit Maximum bei x = 0.
Eigenschaften: Maximum 0.25 bei x = 0, symmetrisch, geht gegen 0 für große |x|.

Warum ist die Sigmoid-Ableitung glockenförmig?

Die glockenförmige Kurve der Sigmoid-Ableitung hat besondere Eigenschaften für das maschinelle Lernen:

  • Maximum bei x = 0: Größte Änderungsrate in der Mitte
  • Symmetrie: Gleiche Form links und rechts
  • Begrenzte Werte: Zwischen 0 und 0.25
  • Vanishing Gradients: Geht gegen 0 für große |x|
  • Backpropagation: Bestimmt Lerngeschwindigkeit
  • Optimierung: Wichtig für Gradientenabstieg

Kettenregel und Backpropagation

Die elegante Form σ'(x) = σ(x)(1-σ(x)) macht die Berechnung in neuronalen Netzen besonders effizient:

\[\frac{\partial L}{\partial w} = \frac{\partial L}{\partial \sigma} \cdot \sigma'(x) \cdot \frac{\partial x}{\partial w}\]

Da σ(x) bereits berechnet wurde, benötigt σ'(x) nur eine einfache Multiplikation, was die Backpropagation sehr effizient macht.

Formeln zur Sigmoid Ableitung

Elegante Form
\[\sigma'(x) = \sigma(x)(1-\sigma(x))\]

Ausgedrückt durch die Sigmoid-Funktion selbst

Exponentialform
\[\sigma'(x) = \frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^2}\]

Direkte Ableitung der Exponentialform

Kettenregel Form
\[\frac{d}{dx}\sigma(f(x)) = \sigma'(f(x)) \cdot f'(x)\]

Für zusammengesetzte Funktionen

Alternative Form
\[\sigma'(x) = \frac{e^x}{(1+e^x)^2}\]

Mit positiver Exponentialfunktion

Tanh Darstellung
\[\sigma'(x) = \frac{1}{4}\text{sech}^2\left(\frac{x}{2}\right)\]

Hyperbolische Sekansfunktion

Maximumseigenschaft
\[\max(\sigma'(x)) = \sigma'(0) = 0.25\]

Maximum bei x = 0

Eigenschaften

Spezielle Werte
σ'(0) = 0.25 σ'(±∞) = 0 σ'(±2) ≈ 0.1
Definitionsbereich
x ∈ (-∞, +∞)

Alle reellen Zahlen

Wertebereich
\[\sigma'(x) \in (0, 0.25]\]

Zwischen 0 und 0.25

Anwendung

Backpropagation, Gradient Descent, Optimierung neuronaler Netze, Deep Learning.

Ausführliche Beschreibung der Sigmoid Ableitung

Mathematische Definition

Die Ableitung der Sigmoid-Funktion ist eine der elegantesten mathematischen Formeln im Machine Learning. Sie zeigt, wie sich die Sigmoid-Funktion an jedem Punkt ändert und ist fundamental für das Training neuronaler Netze durch Backpropagation.

Definition: σ'(x) = σ(x)(1-σ(x))
Verwendung des Rechners

Geben Sie eine beliebige reelle Zahl ein und klicken Sie auf 'Rechnen'. Die Ableitung ist für alle reellen Zahlen definiert und hat Werte zwischen 0 und 0.25.

Historischer Hintergrund

Diese elegante Ableitungsformel wurde erstmals systematisch in den 1980er Jahren von Rumelhart, Hinton und Williams für die Backpropagation verwendet. Sie revolutionierte das Training mehrschichtiger neuronaler Netze.

Eigenschaften und Anwendungen

Machine Learning Anwendungen
  • Backpropagation in neuronalen Netzen
  • Gradient Descent Optimierung
  • Fehlerrückführung in Deep Learning
  • Adaptive Lernraten-Algorithmen
Numerische Eigenschaften
  • Computational Efficiency (nutzt bereits berechnetes σ(x))
  • Numerische Stabilität bei großen |x|
  • Glatte, differenzierbare Funktion
  • Begrenzte Werte verhindern Explosionen
Mathematische Eigenschaften
  • Maximum: σ'(0) = 0.25 bei x = 0
  • Symmetrie: σ'(-x) = σ'(x)
  • Konvexität: Konkav für |x| < ln(2+√3)
  • Asymptotik: Exponentieller Abfall für große |x|
Interessante Fakten
  • Die elegante Form σ'(x) = σ(x)(1-σ(x)) macht Backpropagation effizient
  • Das Maximum 0.25 bei x = 0 bestimmt die maximale Lerngeschwindigkeit
  • Vanishing Gradients Problem: σ'(x) → 0 für große |x|
  • Basis für modernere Aktivierungsfunktionen wie ReLU

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1

σ'(0) = 0.25

Maximum der Ableitung → Beste Lernrate

Beispiel 2

σ'(2) ≈ 0.105

Positive Eingabe → Mittlere Lernrate

Beispiel 3

σ'(5) ≈ 0.007

Große Eingabe → Langsames Lernen

Rolle in der Backpropagation

Gradientenberechnung

In der Backpropagation wird die Sigmoid-Ableitung für die Kettenregel verwendet:

\[\delta_j = \sigma'(z_j) \sum_k w_{jk} \delta_k\]

Dabei ist δⱼ der Fehler des Neurons j und wⱼₖ die Gewichte.

Gewichtsaktualisierung

Die Gewichte werden proportional zur Ableitung aktualisiert:

\[\Delta w_{ij} = -\eta \frac{\partial E}{\partial w_{ij}} = -\eta \delta_j x_i\]

Wobei η die Lernrate und E die Fehlerfunktion ist.

Vanishing Gradients Problem

Problem

Für große |x| wird σ'(x) sehr klein, was zu langsamen Lernen führt:

  • σ'(5) ≈ 0.007 (sehr langsam)
  • σ'(10) ≈ 0.00005 (praktisch stillstand)
  • Tief Netzwerke besonders betroffen
Lösungsansätze

Moderne Ansätze zur Lösung des Problems:

  • ReLU Aktivierungsfunktionen
  • Residual Connections (ResNet)
  • Batch Normalization
  • LSTM/GRU für Sequenzen

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