Riemann Zeta Funktion berechnen

Online Rechner und Formeln zur Berechnung der Riemannschen Zeta Funktion - Schlüssel zur Primzahlenverteilung

Riemann Zeta Funktion Rechner

Riemannsche Zeta Funktion

Die ζ(s) oder Riemann Zeta Funktion ist eine der wichtigsten Funktionen in der analytischen Zahlentheorie und eng mit der Primzahlenverteilung verbunden.

Reelle Zahl > 1 für Konvergenz der Zeta Funktion
Resultat
ζ(s):

Riemann Zeta Funktionskurve

Mauszeiger auf der Grafik zeigt die Werte an.
Bei s = 1 ist das Resultat ∞. Die Y-Skala ist auf ±20 begrenzt für bessere Darstellung.

Formeln zur Riemannschen Zeta Funktion

Dirichlet-Reihe
\[\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}\]

Für Re(s) > 1

Euler-Produkt
\[\zeta(s) = \prod_{p \text{ prim}} \frac{1}{1-p^{-s}}\]

Produkt über alle Primzahlen p

Integraldarstellung
\[\zeta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \frac{x^{s-1}}{e^x-1} dx\]

Für Re(s) > 1

Funktionalgleichung
\[\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left(\frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)\]

Riemann'sche Funktionalgleichung

Analytische Fortsetzung
\[\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma - \frac{\gamma_1}{1!}(s-1) + \frac{\gamma_2}{2!}(s-1)^2 + ...\]

Laurent-Reihe um s = 1 mit Stieltjes-Konstanten γₙ

Spezielle Werte

Berühmte Werte
ζ(2) = π²/6 ζ(4) = π⁴/90 ζ(6) = π⁶/945 ζ(0) = -1/2
Primzahlen
Verbindung zu Primzahlen

Euler-Produkt zeigt tiefe Verbindung zur Primzahlentheorie

Pol bei s = 1
\[\zeta(1) = \infty\]

Einfacher Pol mit Residuum 1

Anwendung

Primzahlentheorie, analytische Zahlentheorie, mathematische Physik und Kryptographie.

Die Riemannsche Vermutung

Eine der berühmtesten ungelösten Probleme der Mathematik:

"Alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zeta-Funktion haben den Realteil 1/2"

Millennium-Problem: Eines der sieben Millennium-Probleme mit einem Preisgeld von 1 Million US-Dollar. Die Vermutung hat tiefgreifende Auswirkungen auf die Verteilung der Primzahlen.

Ausführliche Beschreibung der Riemann Zeta Funktion

Mathematische Definition

Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine der zentralen Funktionen in der analytischen Zahlentheorie. Sie wurde von Bernhard Riemann systematisch studiert und zeigt eine tiefe Verbindung zwischen Primzahlen und Analysis auf.

Definition: ζ(s) = Σ(n=1 bis ∞) 1/n^s für Re(s) > 1
Verwendung des Rechners

Geben Sie das Argument s ein und klicken Sie auf 'Rechnen'. Für s = 1 ist die Funktion nicht definiert (Pol). Die Reihe konvergiert für Re(s) > 1.

Historischer Hintergrund

Die Funktion wurde ursprünglich von Leonhard Euler als Dirichlet-Reihe eingeführt. Bernhard Riemann erkannte ihre fundamentale Bedeutung für die Primzahlentheorie und bewies die berühmte Funktionalgleichung.

Eigenschaften und Anwendungen

Mathematische Anwendungen
  • Primzahlsatz und Primzahlenverteilung
  • Analytische Zahlentheorie (L-Funktionen)
  • Additive Kombinatorik
  • Modulare Formen und automorphe Funktionen
Physikalische Anwendungen
  • Quantenchaos und Spektraltheorie
  • Statistische Mechanik (Partitionsfunktionen)
  • Stringtheorie und Quantenfeldtheorie
  • Kritische Phänomene und Phasenübergänge
Besondere Eigenschaften
  • Euler-Produkt: Verbindung zu Primzahlen
  • Funktionalgleichung: Symmetrie um s = 1/2
  • Nullstellen: Triviale (-2, -4, -6, ...) und nichttriviale
  • Pol: Einfacher Pol bei s = 1 mit Residuum 1
Interessante Fakten
  • ζ(2) = π²/6 löst das Basler Problem
  • ζ(-1) = -1/12 (Ramanujan-Summe)
  • Die ersten 10¹³ nichttrivialen Nullstellen liegen auf der kritischen Linie
  • Verbindung zu Random Matrix Theory

Berechnungsbeispiele

Beispiel 1

ζ(2) = π²/6 ≈ 1.6449

Lösung des Basler Problems (Euler, 1734)

Beispiel 2

ζ(4) = π⁴/90 ≈ 1.0823

Weitere exakte Lösung von Euler

Beispiel 3

ζ(0) = -1/2

Analytische Fortsetzung

Verbindung zur Primzahlentheorie

Euler-Produkt

Das Euler-Produkt zeigt die fundamentale Verbindung zu Primzahlen:

\[\zeta(s) = \prod_{p \text{ prim}} \frac{1}{1-p^{-s}}\]

Diese Darstellung ist der Schlüssel zum Verständnis der Primzahlenverteilung.

Primzahlsatz

Die Nullstellen der Zeta-Funktion bestimmen die Genauigkeit des Primzahlsatzes:

\[\pi(x) \sim \frac{x}{\ln x}\]

Wobei π(x) die Anzahl der Primzahlen ≤ x ist.


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