Dodekaeder Rechner

Onlinerechner und Formeln zur Berechnung der Eigenschaften eines Dodekaeders

Der Goldene Platonische Körper - Vollendung in Symmetrie!

Dodekaeder Rechner

Das Dodekaeder

Das Dodekaeder ist ein platonischer Körper mit 12 gleichmäßigen Fünfecken und dem Goldenen Schnitt.

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Wert des gewählten Parameters
Dodekaeder Berechnungsergebnisse
Seitenlänge a:
Volumen V:
Oberfläche S:
Diagonale d:
Höhe h:
Eckenradius Rc:
Kantenradius Rm:
Innenradius Ri:
Platonischer Körper Eigenschaften

Der Goldene Körper: 12 regelmäßige Fünfecke mit dem Goldenen Schnitt

12 Fünfecke 20 Ecken 30 Kanten Goldener Schnitt

Dodekaeder Struktur

Dodekaeder

Der platonische Körper mit dem Goldenen Schnitt.
12 regelmäßige Fünfecke.

Was ist ein Dodekaeder?

Das Dodekaeder ist einer der fünf platonischen Körper:

  • Definition: Körper mit 12 regelmäßigen Fünfecken
  • Platonischer Körper: Einer der fünf regelmäßigen Polyeder
  • Flächen: 12 kongruente regelmäßige Fünfecke
  • Ecken: 20 Ecken insgesamt
  • Kanten: 30 Kanten
  • Goldener Schnitt: Basis aller Proportionen

Geometrische Eigenschaften des Dodekaeders

Das Dodekaeder zeigt die Vollendung der platonischen Symmetrie:

Grundparameter
  • Flächen: 12 regelmäßige Fünfecke
  • Ecken: 20 Ecken
  • Kanten: 30 Kanten (alle gleich lang)
  • Euler-Charakteristik: V - E + F = 20 - 30 + 12 = 2
Besondere Eigenschaften
  • Goldener Schnitt: Basis aller Proportionen
  • Ikosaeder-Dual: Dualkörper zum Ikosaeder
  • Platonisch: Einer der fünf regulären Polyeder
  • Pentagonal: Alle Flächen sind Fünfecke

Mathematische Beziehungen

Das Dodekaeder folgt den Gesetzen des Goldenen Schnitts:

Volumen-Formel
Mit Goldenem Schnitt φ

Enthält den Goldenen Schnitt φ = (1+√5)/2. Elegant und harmonisch.

Oberflächen-Formel
12 Fünfecke

12 regelmäßige Fünfecke. Mit √25+10√5 Beziehung.

Anwendungen des Dodekaeders

Dodekaeder finden Anwendung in verschiedenen Bereichen:

Architektur & Bauwesen
  • Geodätische Kuppeln
  • Sakrale Architektur
  • Harmonische Raumaufteilung
  • Goldener Schnitt in Proportionen
Wissenschaft & Technik
  • Kristallographische Strukturen
  • Virusstrukturen
  • Fullerene-Verwandte
  • Symmetrie-Studien
Bildung & Lehre
  • Geometrie-Unterricht
  • Platonische Körper Studien
  • Goldener Schnitt Demonstration
  • Symmetrie-Lehre
Kunst & Design
  • Geometrische Skulpturen
  • Harmonische Proportionen
  • Dekorative Objekte
  • Spielwürfel (W12)

Formeln zur Berechnung eines Dodekaeders

Volumen (V)
\[V=\frac{a^3}{4} \cdot (15+7\sqrt{5}) \approx 7.663 \cdot a^3\]

Volumen mit dem Goldenen Schnitt φ

Oberfläche (S)
\[S= 3a^2 \sqrt{25+10\sqrt{5}} \approx 20.646 \cdot a^2\]

12 regelmäßige Fünfecke

Eckenradius (Rc)
\[R_c=\frac{a}{4} \sqrt{3}(1+\sqrt{5}) \approx 1.401 \cdot a\]

Umkugelradius mit Goldenem Schnitt

Kantenradius (Rm)
\[R_m=\frac{a}{4}(3+\sqrt{5}) \approx 1.309 \cdot a\]

Mittelkugelradius

Innenradius (Ri)
\[R_i=\frac{a}{2} \sqrt{\frac{25+11\sqrt{5}}{10}} \approx 1.113 \cdot a\]

Inkugelradius

Diagonale & Höhe
\[d = 2R_c, \quad h = 2R_i\]

Durchmesser und Höhe

Der Goldene Schnitt φ
Goldener Schnitt
φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618
Basis aller Proportionen
Harmonische Verhältnisse
Platonische Vollendung
Perfektion in Symmetrie

Alle Dodekaeder-Proportionen basieren auf dem Goldenen Schnitt φ

Berechnungsbeispiel für ein Dodekaeder

Gegeben
Seitenlänge a = 10 Platonischer Körper Goldener Schnitt φ

Gesucht: Alle Eigenschaften des Dodekaeders

1. Volumen-Berechnung

Für a = 10:

\[V = \frac{10^3}{4}(15+7\sqrt{5})\] \[V ≈ 250 \cdot 30.652\] \[V ≈ 7663.0\]

Das Volumen beträgt etwa 7663 Volumeneinheiten

2. Oberflächen-Berechnung

Für a = 10:

\[S = 3 \cdot 10^2 \sqrt{25+10\sqrt{5}}\] \[S ≈ 300 \cdot 6.882\] \[S ≈ 2064.6\]

Die Oberfläche beträgt etwa 2065 Flächeneinheiten

3. Radien-Berechnung

Für a = 10:

\[R_c ≈ 1.401 \cdot 10 = 14.01\] \[R_m ≈ 1.309 \cdot 10 = 13.09\] \[R_i ≈ 1.113 \cdot 10 = 11.13\]

Die Radien mit dem Goldenen Schnitt

4. Das perfekte Dodekaeder
Seitenlänge a = 10.0 Volumen V ≈ 7663 Oberfläche S ≈ 2065
Diagonale d ≈ 28.02 12 Fünfecke ⬟ ✨ φ-Harmonie

Das Dodekaeder mit perfekter Goldener-Schnitt-Symmetrie

Das Dodekaeder: Der Goldene Platonische Körper

Das Dodekaeder ist der faszinierendste der fünf platonischen Körper und verkörpert die Vollendung der geometrischen Harmonie. Mit seinen 12 regelmäßigen Fünfecken, 20 Ecken und 30 Kanten ist es ein Meisterwerk der Symmetrie, das vollständig auf dem Goldenen Schnitt φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 basiert. Jede Proportion, jeder Winkel und jede Beziehung in diesem Körper folgt den harmonischen Gesetzen des Goldenen Schnitts, was ihn zu einem Symbol für Perfektion und natürliche Schönheit macht.

Die Vollendung der platonischen Symmetrie

Das Dodekaeder zeigt die höchste Form der geometrischen Vollendung:

  • Goldener Schnitt: Alle Proportionen basieren auf φ = (1+√5)/2
  • Regelmäßige Fünfecke: 12 kongruente pentagoale Flächen
  • Ikosaeder-Dual: Dualkörper zum Ikosaeder
  • Platonische Perfektion: Einer der fünf regulären Polyeder
  • Harmonische Winkel: Alle Winkel folgen φ-Beziehungen
  • Natürliche Präsenz: Grundlage vieler natürlicher Strukturen
  • Kristallographische Bedeutung: Vorlage für Quasikristalle

Mathematische Vollendung

Goldener-Schnitt-Perfektion

Alle Formeln des Dodekaeders enthalten den Goldenen Schnitt φ als fundamentalen Baustein, was zu einer einzigartigen harmonischen Struktur führt.

Pentagoale Symmetrie

Die 12 regelmäßigen Fünfecke erzeugen eine fünfzählige Rotationssymmetrie, die in der Natur weit verbreitet ist.

Duale Beziehungen

Als Dual zum Ikosaeder zeigt das Dodekaeder die tiefe Verbindung zwischen den platonischen Körpern.

Universelle Harmonie

Von Molekularstrukturen bis zu kosmischen Mustern - das Dodekaeder repräsentiert universelle Ordnungsprinzipien.

Zusammenfassung

Das Dodekaeder verkörpert die Vollendung der geometrischen Harmonie und steht als Krone der platonischen Körper da. Seine Struktur aus 12 regelmäßigen Fünfecken, vollständig durchdrungen vom Goldenen Schnitt, macht es zu einem faszinierenden Studienobjekt für Mathematiker, Naturwissenschaftler und Künstler. Von der reinen Geometrie über Kristallstrukturen bis hin zu architektonischen Meisterwerken zeigt das Dodekaeder, wie mathematische Perfektion und natürliche Schönheit untrennbar miteinander verbunden sind. Seine φ-basierten Formeln offenbaren die tiefe Verbindung zwischen Mathematik und Natur und machen es zu einem Symbol für die universelle Ordnung und Harmonie des Kosmos. In einer Welt voller Komplexität steht das Dodekaeder als leuchtendes Beispiel für die Kraft der geometrischen Vollendung.