Geometrisches Mittel berechnen

Online Rechner zur Berechnung des geometrischen Mittels einer Datenreihe

Geometrisches Mittel Rechner

Das geometrische Mittel

Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt von n positiven Zahlen. Es ist besonders geeignet für Wachstumsraten und Verhältnisse.

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Geometrisches Mittel:
Eigenschaften des geometrischen Mittels

Wichtig: x̄geom ≤ x̄arithm (immer kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel). Nur für positive Zahlen definiert.

Multiplikativ Für Wachstumsraten Nur positive Werte

Geometrisches Mittel Konzept

Das geometrische Mittel ist die n-te Wurzel aus dem Produkt.
Ideal für relative Änderungen und Verhältnisse.

Produkt → n-te Wurzel 2 3 4 5 6 × × × × Produkt 720 ⁵√ 3.7279

■ Eingabewerte ■ Produkt ■ Geometrisches Mittel


Was ist das geometrische Mittel?

Das geometrische Mittel ist ein spezielles Lagemaß mit wichtigen Anwendungen:

  • Definition: n-te Wurzel aus dem Produkt von n positiven Zahlen
  • Berechnung: ⁿ√(x₁ · x₂ · ... · xₙ)
  • Voraussetzung: Alle Werte müssen positiv sein (> 0)
  • Eigenschaft: Immer ≤ arithmetisches Mittel
  • Anwendung: Ideal für Wachstumsraten, Renditen, Verhältnisse
  • Vorteil: Berücksichtigt multiplikative Zusammenhänge

Berechnung des geometrischen Mittels

Die Berechnung erfolgt in drei Schritten:

1. Multiplizieren

Bilde das Produkt aller Werte:
P = x₁ · x₂ · ... · xₙ

2. Zählen

Bestimme die Anzahl:
n = Anzahl der Werte

3. Wurzel ziehen

Ziehe die n-te Wurzel:
x̄geom = ⁿ√P

Anwendungen des geometrischen Mittels

Das geometrische Mittel ist besonders wichtig für:

Finanzwesen
  • Durchschnittliche Wachstumsraten berechnen
  • Durchschnittliche Renditen über mehrere Perioden
  • Zinseszins-Berechnungen
  • Performance-Messung von Investitionen
Wissenschaft
  • Biologie: Populationswachstum
  • Physik: Geschwindigkeiten und Verhältnisse
  • Geometrie: Mittlere Proportionale
  • Statistik: Logarithmische Normalverteilung

Formeln zum geometrischen Mittel

Geometrisches Mittel
\[\overline{x}_{geom} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i}\]

n-te Wurzel aus dem Produkt aller Werte

Ausgeschriebene Form
\[\overline{x}_{geom} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n}\]

Explizite Darstellung mit Multiplikation

Logarithmische Form
\[\overline{x}_{geom} = \exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln(x_i)\right)\]

Praktisch für numerische Berechnungen großer Werte

Für zwei Werte
\[\overline{x}_{geom} = \sqrt{x_1 \cdot x_2}\]

Spezialfall: Mittlere Proportionale zweier Zahlen

Symbolerklärungen
\(\overline{x}_{geom}\) Geometrisches Mittel
\(\prod\) Produktzeichen
\(x_i\) Einzelner Datenwert
\(n\) Anzahl der Werte
\(\sqrt[n]{}\) n-te Wurzel
\(\ln\) Natürlicher Logarithmus

Beispielrechnungen für das geometrische Mittel

Beispiel 1: Grundlegende Berechnung
Daten: 2, 3, 4, 5, 6

Berechne: Geometrisches Mittel der 5 Werte

1. Produkt bilden
\[P = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6\] \[= \color{blue}{720}\]

Multipliziere alle Werte

2. Anzahl bestimmen
\[n = 5\]

Zähle die Datenwerte

3. Wurzel ziehen
\[\overline{x}_{geom} = \sqrt[5]{720}\] \[\approx \color{blue}{3.7279}\]

5-te Wurzel aus dem Produkt

Beispiel 2: Durchschnittliche Wachstumsrate
Wachstumsfaktoren: 1.1, 1.2, 0.9, 1.15

Berechne: Durchschnittlicher Wachstumsfaktor über 4 Jahre

Berechnung
\[\overline{x}_{geom} = \sqrt[4]{1.1 \cdot 1.2 \cdot 0.9 \cdot 1.15}\] \[= \sqrt[4]{1.3662} \approx \color{blue}{1.0811}\]

Geometrisches Mittel der Faktoren

Interpretation

Durchschnittliches Wachstum: 8.11% pro Jahr
(Faktor 1.0811 entspricht +8.11%)

Warum nicht arithmetisch?
Das arithmetische Mittel würde 1.0875 ergeben, aber das stimmt nicht mit dem tatsächlichen Endwert überein!

Beispiel 3: Vergleich arithmetisches vs. geometrisches Mittel
Daten: 1, 2, 8
Arithmetisches Mittel
\[\overline{x}_{arithm} = \frac{1+2+8}{3}\] \[= \frac{11}{3} \approx \color{blue}{3.667}\]

Summe geteilt durch Anzahl

Geometrisches Mittel
\[\overline{x}_{geom} = \sqrt[3]{1 \cdot 2 \cdot 8}\] \[= \sqrt[3]{16} \approx \color{blue}{2.520}\]

3-te Wurzel aus dem Produkt

Wichtige Erkenntnis

x̄geom ≤ x̄arithm: Das geometrische Mittel (2.520) ist immer kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel (3.667).
Gleichheit gilt nur, wenn alle Werte identisch sind.
Unterschied wird größer bei stärkerer Streuung der Werte.

Mathematische Grundlagen des geometrischen Mittels

Das geometrische Mittel ist ein wichtiges Lagemaß mit besonderen Eigenschaften, das vor allem bei multiplikativen Zusammenhängen zum Einsatz kommt.

Eigenschaften des geometrischen Mittels

Das geometrische Mittel besitzt charakteristische mathematische Eigenschaften:

  • Ungleichung: x̄geom ≤ x̄arithm (Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel)
  • Nur positive Werte: Definiert nur für xᵢ > 0, da sonst Produkt = 0 oder nicht definiert
  • Multiplikative Invarianz: Skalierung aller Werte mit Faktor c: x̄geom(c·X) = c · x̄geom(X)
  • Logarithmische Eigenschaft: ln(x̄geom) = (1/n)Σln(xᵢ) - arithmetisches Mittel der Logarithmen
  • Robustheit: Weniger empfindlich gegenüber großen Werten als arithmetisches Mittel

Wann geometrisches vs. arithmetisches Mittel?

Geometrisches Mittel verwenden
  • Wachstumsraten: Durchschnittliches Wachstum über mehrere Perioden
  • Renditen: Durchschnittliche Investitionsrendite
  • Verhältnisse: Durchschnitt von Quotienten oder Faktoren
  • Multiplikative Prozesse: Wenn Werte miteinander multipliziert werden
  • Logarithmische Skalen: Bei exponentiellen Zusammenhängen
Arithmetisches Mittel verwenden
  • Additive Prozesse: Summen von unabhängigen Größen
  • Lineare Zusammenhänge: Wenn Werte addiert werden
  • Symmetrische Verteilungen: Bei normalverteilten Daten
  • Durchschnittswerte: Typische Alltagsberechnungen
  • Statistische Tests: Basis für viele parametrische Tests

Praktisches Beispiel: Investitionsrendite

Problem:

Eine Investition entwickelt sich über 3 Jahre wie folgt:
Jahr 1: +20% (Faktor 1.20)
Jahr 2: -10% (Faktor 0.90)
Jahr 3: +15% (Faktor 1.15)

Falsche Methode (arithmetisch):

x̄arithm = (1.20 + 0.90 + 1.15) / 3 = 1.0833 → +8.33% pro Jahr
Aber: 100€ · 1.20 · 0.90 · 1.15 = 124.20€ ≠ 100€ · 1.0833³ = 127.21€

Richtige Methode (geometrisch):

x̄geom = ³√(1.20 · 0.90 · 1.15) = ³√1.242 = 1.0749 → +7.49% pro Jahr
Korrekt: 100€ · 1.20 · 0.90 · 1.15 = 124.20€ = 100€ · 1.0749³ = 124.20€ ✓

Beziehung zu anderen Mittelwerten

Harmonisches Mittel

x̄harm ≤ x̄geom ≤ x̄arithm
Für Geschwindigkeiten und Raten

Geometrisches Mittel

Mittlere Position
Für Wachstumsraten

Arithmetisches Mittel

Größter Wert
Für additive Größen

Spezielle Anwendungen

Geometrie
  • Mittlere Proportionale: Bei a und b ist x̄geom = √(a·b) die mittlere Proportionale
  • Ähnliche Dreiecke: Höhensatz und Kathetensatz
  • Rechteck-Quadrat: Flächengleiches Quadrat zu Rechteck
Statistik
  • Logarithmische Normalverteilung: Wenn ln(X) normalverteilt ist
  • Indexzahlen: Durchschnittliche Preis- und Mengenindizes
  • Konzentrationsmessung: Geometrisches Mittel in Ungleichheitsmaßen
Zusammenfassung

Das geometrische Mittel ist das richtige Lagemaß für multiplikative Zusammenhänge wie Wachstumsraten, Renditen und Verhältnisse. Es ist immer kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel und nur für positive Werte definiert. In der Finanzwirtschaft ist es unverzichtbar für die korrekte Berechnung durchschnittlicher Renditen über mehrere Perioden. Die logarithmische Darstellung macht es numerisch stabil auch bei sehr großen oder sehr kleinen Werten.

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