Standardabweichung berechnen
Online Rechner zur Berechnung der Standardabweichung (Streumaß) einer Datenreihe
Standardabweichung Rechner
Die Standardabweichung
Die Standardabweichung ist ein Maß für die Streuung der Werte um den Mittelwert. Sie ist die Quadratwurzel der Varianz.
Standardabweichung Konzept
Die Standardabweichung zeigt, wie stark die Werte streuen.
Kleine σ: Werte nah am Mittelwert. Große σ: Werte weit verteilt.
● Kleine Standardabweichung ● Große Standardabweichung
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Was ist die Standardabweichung?
Die Standardabweichung ist ein grundlegendes Streumaß der deskriptiven Statistik:
- Definition: Quadratwurzel der Varianz, misst durchschnittliche Abweichung vom Mittelwert
- Bezeichnung: σ (sigma) für Population, s für Stichprobe
- Einheit: Gleiche Einheit wie die Ursprungsdaten
- Eigenschaft: Immer nicht-negativ (σ ≥ 0)
- Anwendung: Streuungsanalyse, Qualitätskontrolle, Risikomaß
- Interpretation: Je größer, desto stärker streuen die Daten
Stichprobe vs. Population
Je nachdem, ob Sie die gesamte Population oder nur eine Stichprobe haben, unterscheiden sich die Formeln:
Stichprobe (s)
Verwendung: Wenn Sie nur einen Teil der Population haben.
Formel: Division durch (n-1) - Bessel-Korrektur
Zweck: Unverzerrter Schätzer für σ
Beispiel: 100 zufällig ausgewählte Schüler einer Schule
Population (σ)
Verwendung: Wenn Sie die gesamte Population haben.
Formel: Division durch n
Zweck: Exakter Wert für die Population
Beispiel: Alle Schüler einer Klasse mit 25 Schülern
Anwendungen der Standardabweichung
Die Standardabweichung wird in vielen Bereichen verwendet:
Qualitätskontrolle
- Prozessstreuung überwachen (Six Sigma)
- Toleranzgrenzen festlegen (µ ± 3σ)
- Maschinenfähigkeit bewerten (Cpk-Wert)
- Ausschussrate minimieren
Finanzen und Investition
- Volatilität von Aktienkursen messen
- Portfoliorisiko quantifizieren
- Value-at-Risk (VaR) berechnen
- Sharpe-Ratio für risikoadjustierte Rendite
Formeln zur Standardabweichung
Stichproben-Standardabweichung (s)
Mit Bessel-Korrektur (n-1) für unverzerrte Schätzung
Populations-Standardabweichung (σ)
Exakter Wert für die gesamte Population
Beziehung zur Varianz
Standardabweichung = Wurzel der Varianz
Empirische Regel (68-95-99.7)
Bei Normalverteilung:
• 68% der Werte in [µ-σ, µ+σ]
• 95% der Werte in [µ-2σ, µ+2σ]
• 99.7% der Werte in [µ-3σ, µ+3σ]
Symbolerklärungen
| \(s\) | Stichproben-Standardabweichung |
| \(\sigma\) | Populations-Standardabweichung |
| \(x_i\) | Einzelner Datenwert |
| \(\overline{x}\) | Stichproben-Mittelwert |
| \(\mu\) | Populations-Mittelwert |
| \(n\) | Anzahl der Werte |
Beispielrechnungen für die Standardabweichung
Beispiel 1: Stichproben-Standardabweichung
Berechne: Standardabweichung der Stichprobe
1. Mittelwert berechnen
2. Abweichungsquadrate
| (3-5.75)² = | 7.5625 |
| (5-5.75)² = | 0.5625 |
| (7-5.75)² = | 1.5625 |
| (8-5.75)² = | 5.0625 |
| Summe: | 14.75 |
3. Standardabweichung
Beispiel 2: Vergleich zweier Datensätze
Beide haben Mittelwert = 12, aber unterschiedliche Streuung
Datensatz A - Geringe Streuung
| Mittelwert: | 12 |
| Varianz: | 2 |
| Standardabweichung: | 1.41 |
Interpretation: Werte liegen eng beieinander (10-14), geringe Variabilität.
Datensatz B - Hohe Streuung
| Mittelwert: | 12 |
| Varianz: | 22 |
| Standardabweichung: | 4.69 |
Interpretation: Werte weit verteilt (5-19), hohe Variabilität.
Wichtige Erkenntnis
Datensatz A hat σ = 1.41, Datensatz B hat σ = 4.69.
Obwohl beide den gleichen Mittelwert haben, zeigt die dreifach höhere Standardabweichung von B,
dass die Werte deutlich stärker streuen. Dies ist wichtig für Risikoanalysen, Qualitätskontrolle
und die Beurteilung der Zuverlässigkeit von Messungen.
Beispiel 3: Empirische Regel bei Normalverteilung
Anwendung der 68-95-99.7 Regel
68% der Werte
µ ± 1σ
[100-15, 100+15]
[85, 115]
68% haben IQ zwischen 85 und 115
95% der Werte
µ ± 2σ
[100-30, 100+30]
[70, 130]
95% haben IQ zwischen 70 und 130
99.7% der Werte
µ ± 3σ
[100-45, 100+45]
[55, 145]
99.7% haben IQ zwischen 55 und 145
Mathematische Grundlagen der Standardabweichung
Die Standardabweichung ist eines der wichtigsten Streumaße in der Statistik und bildet die Grundlage für viele statistische Verfahren.
Eigenschaften der Standardabweichung
Die Standardabweichung besitzt charakteristische mathematische Eigenschaften:
- Nicht-Negativität: σ ≥ 0, wobei σ = 0 nur wenn alle Werte identisch sind
- Gleiche Einheit: Hat dieselbe Einheit wie die Ursprungsdaten (im Gegensatz zur Varianz)
- Empfindlichkeit: Empfindlich gegenüber Ausreißern (wegen Quadrierung)
- Linearität: σ(aX + b) = |a| · σ(X) - skaliert mit konstantem Faktor
- Additivität: Bei unabhängigen Variablen: σ²(X+Y) = σ²(X) + σ²(Y)
Bessel-Korrektur erklärt
Warum (n-1) statt n bei Stichproben?
Bei einer Stichprobe schätzen wir den Populationsmittelwert µ durch den Stichprobenmittelwert x̄. Dies führt dazu, dass die Abweichungen (xᵢ - x̄) im Durchschnitt kleiner sind als die echten Abweichungen (xᵢ - µ). Division durch n würde die Varianz systematisch unterschätzen.
Friedrich Bessel entdeckte, dass Division durch (n-1) diese Verzerrung korrigiert und einen unverzerrten Schätzer liefert. Der Nenner (n-1) wird "Freiheitsgrade" genannt, da nach Festlegung von x̄ nur noch (n-1) Werte frei variieren können.
Standardabweichung vs. andere Streumaße
Standardabweichung
Durchschnittliche Abweichung
Gleiche Einheit wie Daten
Empfindlich gegen Ausreißer
Varianz
Quadrierte Abweichungen
Quadrierte Einheit
Rechnerisch einfacher
IQR (Interquartilsabstand)
Mittlere 50% der Daten
Gleiche Einheit wie Daten
Robust gegen Ausreißer
Variationskoeffizient (CV)
Der Variationskoeffizient ist die relative Standardabweichung:
Verwendung: Vergleich der Streuung von Datensätzen mit unterschiedlichen Mittelwerten oder Einheiten.
Beispiel: Streuung von Gewichten (kg) vs. Größen (cm) vergleichbar machen.
Interpretation: CV < 10%: geringe Streuung, CV > 30%: hohe Streuung
Praktische Hinweise
Wann Standardabweichung verwenden?
- Normalverteilte Daten: Optimal bei symmetrischen Verteilungen
- Qualitätskontrolle: Process capability (Cpk), Six Sigma
- Finanzanalyse: Volatilität, Risiko, Sharpe-Ratio
- Hypothesentests: t-Test, z-Test, Konfidenzintervalle
- Vergleiche: Wenn gleiche Einheit wie Daten gewünscht
Vorsicht bei
- Ausreißern: Quadrierung verstärkt deren Einfluss erheblich
- Schiefen Verteilungen: Median und IQR oft besser geeignet
- Kleinen Stichproben: n < 30 kann zu instabilen Schätzungen führen
- Verschiedenen Einheiten: Verwenden Sie Variationskoeffizient CV
- Ordinalen Daten: Standardabweichung nicht sinnvoll interpretierbar
Zusammenfassung
Die Standardabweichung ist das wichtigste Streumaß der Statistik. Sie misst die durchschnittliche Abweichung der Werte vom Mittelwert und hat denselben Vorteil wie die Daten selbst, was die Interpretation erleichtert. Bei Stichproben verwenden Sie die Bessel-Korrektur (n-1) für eine unverzerrte Schätzung. Die empirische Regel (68-95-99.7) gilt nur bei Normalverteilung und ist sehr nützlich für Intervallschätzungen. In der Praxis wird die Standardabweichung für Qualitätskontrolle (Six Sigma), Finanzanalyse (Volatilität), Hypothesentests und Risikoanalyse verwendet. Bei Ausreißern oder schiefen Verteilungen sollten Sie robustere Maße wie den Interquartilsabstand (IQR) in Betracht ziehen.
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