Unteres Quartil (Q1) berechnen
Online Rechner zur Berechnung des unteren Quartils (25. Perzentil) einer Datenreihe
Unteres Quartil Rechner
Das untere Quartil (Q1)
Das untere Quartil Q1 ist das 25. Perzentil einer Datenreihe. Es teilt die unteren 25% von den oberen 75% der sortierten Daten.
Quartile Visualisierung
Die Quartile teilen die Daten in vier gleiche Teile.
Q1 liegt zwischen Minimum und Median.
● Unteres Quartil (Q1) ● Median (Q2) ● Oberes Quartil (Q3)
Was ist das untere Quartil (Q1)?
Das untere Quartil Q1 ist ein wichtiges Lagemaß der deskriptiven Statistik:
- Definition: Wert, der 25% der Daten von den oberen 75% trennt
- Bezeichnung: Auch 25. Perzentil oder erstes Quartil genannt
- Position: Liegt zwischen Minimum und Median
- Eigenschaft: Robust gegen Ausreißer im unteren Bereich
- Anwendung: Boxplots, Interquartilsabstand, Streuungsmaße
- Interpretation: 25% der Werte liegen unterhalb von Q1
Die vier Quartile im Überblick
Die Quartile teilen eine sortierte Datenreihe in vier gleich große Teile:
Q1
Unteres Quartil
25. Perzentil
25% darunter
Q2
Median
50. Perzentil
50% darunter
Q3
Oberes Quartil
75. Perzentil
75% darunter
IQR
Interquartilsabstand
IQR = Q3 - Q1
Mittlere 50%
Anwendungen des unteren Quartils
Das untere Quartil Q1 wird in vielen Bereichen verwendet:
Datenanalyse
- Boxplot-Darstellung (untere Box-Grenze)
- Interquartilsabstand (IQR = Q3 - Q1)
- Ausreißererkennung (Werte < Q1 - 1.5·IQR)
- Five-Number-Summary (Min, Q1, Q2, Q3, Max)
Praktische Anwendungen
- Einkommensverteilung (unteres Viertel)
- Leistungsbeurteilung (untere 25%)
- Qualitätskontrolle (untere Toleranzgrenze)
- Benchmarking (unterdurchschnittliche Performance)
Berechnung des unteren Quartils
Unteres Quartil (Q1)
Q1 entspricht dem 25. Perzentil
Position berechnen
Position von Q1 in sortierter Liste (n = Anzahl)
Interquartilsabstand
Spanne der mittleren 50% der Daten
Ausreißergrenze (unten)
Werte darunter gelten als Ausreißer
Symbolerklärungen
| \(Q_1\) | Unteres Quartil |
| \(Q_3\) | Oberes Quartil |
| \(P_{25}\) | 25. Perzentil |
| \(n\) | Anzahl der Werte |
| \(IQR\) | Interquartilsabstand |
| \(k\) | Position in sortierter Liste |
Beispielrechnungen für das untere Quartil
Beispiel 1: Ungerade Anzahl von Werten
Berechne: Unteres Quartil Q1
1. Sortieren
2, 5, 4, 8, 3, 7, 9, 3, 1, 6
Sortiert:
1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2. Position berechnen
Position zwischen 2. und 3. Wert
3. Q1 bestimmen
2. Wert = 2
3. Wert = 3
\[Q_1 = 2 + 0.75(3-2)\] \[= \color{blue}{2.75}\]Beispiel 2: Five-Number-Summary und Boxplot
Bestimme alle fünf Kennzahlen
Five-Number-Summary
| Minimum: | 12 |
| Q1 (25%): | 18 |
| Q2 (50%, Median): | 28 |
| Q3 (75%): | 40 |
| Maximum: | 50 |
Weitere Kennzahlen
| IQR: | Q3 - Q1 = 40 - 18 = 22 |
| Untere Grenze: | Q1 - 1.5·IQR = -15 |
| Obere Grenze: | Q3 + 1.5·IQR = 73 |
| Alle Werte liegen innerhalb der Grenzen → Keine Ausreißer | |
Interpretation
Q1 = 18: 25% der Werte liegen bei oder unter 18.
IQR = 22: Die mittleren 50% der Daten haben eine Spannweite von 22.
Q2 - Q1 = 10: Die untere Hälfte der Daten ist etwas weniger weit gestreut als die obere Hälfte (Q3 - Q2 = 12).
Dies deutet auf eine leicht rechtsschiefe Verteilung hin.
Beispiel 3: Ausreißererkennung mit Q1
Ist 5 ein Ausreißer?
Quartile berechnen
| Q1: | 12 |
| Q2 (Median): | 19 |
| Q3: | 26.5 |
| IQR: | 26.5 - 12 = 14.5 |
Ausreißertest
Untere Grenze:
Q1 - 1.5 · IQR
= 12 - 1.5 · 14.5
= 12 - 21.75
= -9.75
5 > -9.75
→ 5 ist KEIN Ausreißer!
Quantil-Berechnungsmethoden
Es gibt neun verschiedene Methoden zur Berechnung von Quartilen und Perzentilen. Diese Methoden unterscheiden sich in der Art der Interpolation zwischen Datenpunkten.
Standard (Type 6)
Lineare Interpolation der Erwartungen für Ordnungsstatistik.
Verwendet von: Excel, SAS-4, SciPy-(0,0), Maple-5
R (Type 7)
Lineare Interpolation der Modi für Ordnungsstatistik.
Verwendet von: R, Excel, SciPy-(1,1), Maple-6
Maple (Type 8)
Lineare Interpolation der ungefähren Mediane.
Verwendet von: Maple-7, SciPy-(1/3,1/3)
Alle neun Methoden im Detail:
| Methode | Beschreibung | Äquivalent zu |
|---|---|---|
| Type 1 | Umkehrung der empirischen Verteilungsfunktion | R-1, SAS-3, Maple-1 |
| Type 2 | Wie Type 1, jedoch mit Mittelung an Diskontinuitäten | R-2, SAS-5, Maple-2 |
| Type 3 | Zählen der Daten am nächsten zu Np | R-3, SAS-2 |
| Type 4 | Lineare Interpolation der empirischen Verteilungsfunktion | R-4, SAS-1, SciPy-(0,1), Maple-3 |
| Type 5 | Stückweise lineare Funktion mit Knoten in Stufenmitte | R-5, SciPy-(.5,.5), Maple-4 |
| Type 6 | Lineare Interpolation der Erwartungen für Ordnungsstatistik (Standard) | R-6, Excel, SAS-4, SciPy-(0,0), Maple-5 |
| Type 7 | Lineare Interpolation der Modi für Ordnungsstatistik (R-Standard) | R-7, Excel, SciPy-(1,1), Maple-6 |
| Type 8 | Lineare Interpolation der ungefähren Mediane (Maple-Standard) | R-8, SciPy-(1/3,1/3), Maple-7 |
| Type 9 | Ungefähr unverzerrt für erwartete Ordnungsstatistik (Normalverteilung) | R-9, SciPy-(3/8,3/8), Maple-8 |
Empfehlung
Die Standard-Methode (Type 6) ist für die meisten Anwendungen geeignet. Für Kompatibilität mit R verwenden Sie Type 7. Die Wahl der Methode hat normalerweise nur bei kleinen Datensätzen einen signifikanten Einfluss. Bei großen Datensätzen konvergieren alle Methoden zu ähnlichen Ergebnissen.
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